P5.46 Um eixo maciço de aço A-36 tem 2 m de comprimento e diâmetro de 60 mm . É necessário transmitir 60 kW de potência do motor M para a bomba B. Determine a menor velocidade angular do eixo se a tensão de cisalhamento admissível for \tau_{\text {adm }}=80 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados fornecidos:
    \begin{aligned} &\text{comprimento do eixo} = 2\\ \text{m} \quad(\text{não é necessário para o cálculo de tensão em torsão}),\\\ &\text{diâmetro} \; d = 60\\ \text{mm},\\\ &\text{potência a transmitir} \; P = 60\\ \text{kW},\\\ &\text{tensão de cisalhamento admissível} \; \tau_{\text{adm}} = 80\\ \text{MPa}. \end{aligned}ãéááããâêãí
  • O que o problema pede:
    \text{Determinar a menor velocidade angular do eixo (}\omega\text{) tal que }\tau_{\max}\le \tau_{\text{adm}}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais (aula rápida e prática):
  • Quando um eixo circular maciço está submetido à torção, a tensão de cisalhamento máxima na superfície é dada por
    \tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
    onde:
    \begin{aligned} &T \text{ é o torque aplicado (N·m)},\\\ &c \text{ é o raio externo do eixo (m)},\\\ &J \text{ é o momento polar de inércia da seção (m}^4\text{)}. \end{aligned}ééééçã
  • Para um eixo circular maciço de diâmetro d temos:
    c=\frac{d}{2}
    e
    J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
  • Substituindo c e J na fórmula de \tau_{\max} e simplificando obtém-se a forma muito usada:
    \tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
    Aqui d está em metros, T em N·m e \tau em Pa.

Passo 3

Relação entre potência, torque e velocidade angular (ou seja, como o motor empurra o eixo):
  • Potência e velocidade angular estão relacionadas por
    P = T\,\omega,
    onde:
    \begin{aligned} &P \text{ é a potência (W)},\\\ &T \text{ é o torque (N·m)},\\\ &\omega \text{ é a velocidade angular (rad/s)}. \end{aligned}éêéé
  • Dessa relação isolamos o torque:
    T=\frac{P}{\omega}.

Passo 4

Combinar as fórmulas para obter \omega em função de P, d e \tau_{\text{adm}}:
  • Substituindo T=\dfrac{P}{\omega} em \tau_{\max}=\dfrac{16T}{\pi d^{3}} obtemos
    \tau_{\max}=\frac{16}{\pi d^{3}}\cdot\frac{P}{\omega}.
  • Para garantir que a tensão não exceda a admissível, impomos \tau_{\max}=\tau_{\text{adm}} (caso limite). Então:
    \tau_{\text{adm}}=\frac{16P}{\pi d^{3}\,\omega}.
  • Isolando \omega:
    \omega=\frac{16P}{\pi d^{3}\,\tau_{\text{adm}}}.
Essa é a fórmula que vamos usar. Observação: todas as grandezas devem estar no sistema SI (m, N, s, Pa).

Passo 5

Converter unidades para o SI e colocar os valores na fórmula:
  • Converter diâmetro:
    d = 60\\ \text{mm} = 0,060\\ \text{m}.
  • Converter potência:
    P = 60\\ \text{kW} = 60\,000\\ \text{W}.
  • Converter tensão admissível:
    \tau_{\text{adm}} = 80\\ \text{MPa} = 80\times10^{6}\\ \text{Pa}.

Passo 6

Substituir os números na expressão de \omega e calcular passo a passo:
  • Primeiro calcule d^{3}:
    d^{3}=(0,060)^{3}=0,000216\\ \text{m}^{3}.
  • Calcule o denominador \pi d^{3}\tau_{\text{adm}}:
    \pi d^{3}\tau_{\text{adm}}=\pi\cdot 0,000216\cdot 80\times10^{6}.
    Calcule em partes: 0,000216\cdot 80\times10^{6}=17\,280. Então
    \pi d^{3}\tau_{\text{adm}}=17\,280\pi\approx 54\,259\\ (\text{unidade: N·m}).
  • Calcule o numerador 16P:
    16P=16\cdot 60\,000=960\,000\\ (\text{W}).
  • Agora \omega:
    \omega=\frac{960\,000}{54\,259}\approx 17,69\\ \text{rad/s}.
(Arredondei para duas casas decimais: 17,69\\ \text{rad/s}.)

Passo 7

Converter \omega para rotações por minuto (rpm), que é uma unidade prática:
  • A relação é
    n=\frac{\omega}{2\pi}\cdot 60 = \frac{30}{\pi}\,\omega.
  • Substituindo \omega\approx 17,69\\ \text{rad/s}:
    n\approx \frac{30}{\pi}\cdot 17,69 \approx 168,9\\ \text{rpm}.

Passo 8

Verificação rápida (checagem de consistência):
  • Torque correspondente:
    T=\frac{P}{\omega}=\frac{60\,000}{17,69}\approx 3\,393\\ \text{N·m}.
  • Verificar tensão com T usando \tau_{\max}=\dfrac{16T}{\pi d^{3}}:
    \tau_{\max}=\frac{16\cdot 3\,393}{\pi\cdot(0,060)^{3}}\approx 80\times10^{6}\\ \text{Pa}=80\\ \text{MPa},
    ou seja, bate com a tensão admissível (pequenas diferenças são por arredondamento). Isso confirma que o valor de \omega é o mínimo que corta exatamente a \tau_{\text{adm}}.

Passo 9

Resumo final e incentivo curto:
  • Resultado obtido: a menor velocidade angular para não ultrapassar \tau_{\text{adm}} é cerca de 17,69\\ \text{rad/s}, isto corresponde a aproximadamente 168,9\\ \text{rpm}. Dá pra usar esse procedimento em qualquer problema parecido: converter unidades, montar a equação da tensão em torsão para a seção (aqui sólido circular), relacionar potência e torque e isolar \omega. Você mandou bem chegando até aqui — respira, revisa esses passos e resolve outros iguais que cairão na prova.

Resposta

\omega_{\min}=17,69\\ \mathrm{rad/s}
n\approx 168,9\\ \mathrm{rpm}

Exercícios relacionados