Considere os vetores v_{1}=(1,12,6), v_{2}=(0,1,-12), v_{3}=(6,4,-1), v_{4}=(2,30,-60), w=(-4,-47,-36) e os conjuntos A=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} e B=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{4}\right\}.
Marque a alternativa correta sobre w, A e B.
Escolha uma opção: \bigcircw não é combinação linear dos elementos nem de A, nem de B. \bigcircw não é combinação linear dos elementos de B e A é base para \mathbb{R}^{3}. \bigcircw é combinação linear dos elementos de A e B é base para \mathbb{R}^{3}. \bigcircw não é combinação linear dos elementos de A e B é base para \mathbb{R}^{3}. \bigcircw é combinação linear dos elementos de B e A é base para \mathbb{R}^{3}.
A tarefa é escolher qual das alternativas sobre w, A e B é correta. Em termos práticos precisamos responder:
A é base de \mathbb{R}^{3} (ou não)?
B é base de \mathbb{R}^{3} (ou não)?
w é combinação linear dos vetores de A e/ou de B?
Listei todos os dados relevantes acima; agora vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Conceitos rápidos (didático):
Uma combinação linear dos vetores \{u_1,u_2,u_3\} é um vetor da forma c_1u_1+c_2u_2+c_3u_3, onde c_i são escalares. Para verificar se um vetor w é combinação linear, montamos o sistema linear que expressa os coeficientes c_i.
Um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^{3} é base se e somente se os vetores são linearmente independentes (ou equivalentemente se o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas for diferente de zero). Isso é prático: calculamos o determinante da matriz M cujas colunas são os vetores; se \det(M)\neq 0, o conjunto é base.
Vou aplicar esses critérios a A e B e verificar representabilidade de w.
Passo 3
Verificando se A é base: monte a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
Como \det(M_B)=0, os vetores de B são linearmente dependentes e, portanto, B NÃO é base de \mathbb{R}^{3}.]
Passo 5
Agora vamos verificar se w é combinação linear dos vetores de A. Como A é base de \mathbb{R}^{3}, todo vetor de \mathbb{R}^{3} (em particular w) pode ser escrito como combinação linear de A. Ainda assim, vou encontrar explicitamente os coeficientes para solidificar o entendimento.
Queremos c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=w. Em forma matricial:
Da terceira linha: -853 c_{3}=0\Rightarrow c_{3}=0.
Da segunda linha: c_{2}-68c_{3}=1\Rightarrow c_{2}=1.
Da primeira linha: c_{1}+6c_{3}=-4\Rightarrow c_{1}=-4.
A última linha é 0=0, então o sistema tem soluções (infinitas, porque M_B é singular). As equações resultantes são:
c_{2}+6c_{4}=1,\qquad c_{1}+2c_{4}=-4,
com c_{4} parâmetro livre. Em particular, escolhendo c_{4}=0 obtemos c_{1}=-4, c_{2}=1, c_{4}=0, que reproduz a solução anterior. Portanto existe pelo menos uma solução, logo w pertence ao span\{v_{1},v_{2},v_{4}\}: w é combinação linear dos vetores de B.]
Passo 7
Síntese e conclusão lógica:
Calculamos \det(M_A)=-853\neq 0, então A é base de \mathbb{R}^{3}.
Calculamos \det(M_B)=0, então B não é base de \mathbb{R}^{3}.
Encontramos explicitamente que w=-4v_{1}+1v_{2}+0v_{3}, então w é combinação linear dos vetores de A.
Resolvendo para B achamos que há soluções (infinitas) para representarem w, por exemplo w=-4v_{1}+1v_{2}+0v_{4}, então w também é combinação linear dos vetores de B.
Portanto a alternativa correta é a que diz: " w é combinação linear dos elementos de B e A é base para \mathbb{R}^{3}."
Resposta
w é combinação linear dos elementos de B e A é base para \mathbb{R}^{3}.