Considere os vetores v_{1}=(1,12,6), v_{2}=(0,1,-12), v_{3}=(6,4,-1), v_{4}=(2,30,-60), w=(-4,-47,-36) e os conjuntos A=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} e B=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{4}\right\}.
Marque a alternativa correta sobre w, A e B.
Escolha uma opção:
\bigcirc w não é combinação linear dos elementos nem de A, nem de B.
\bigcirc w não é combinação linear dos elementos de B e A é base para \mathbb{R}^{3}.
\bigcirc w é combinação linear dos elementos de A e B é base para \mathbb{R}^{3}.
\bigcirc w não é combinação linear dos elementos de A e B é base para \mathbb{R}^{3}.
\bigcirc w é combinação linear dos elementos de B e A é base para \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v_{1}=(1,12,6),\quad v_{2}=(0,1,-12),\quad v_{3}=(6,4,-1),\quad v_{4}=(2,30,-60),\quad w=(-4,-47,-36)
e os conjuntos
A=\{v_{1},v_{2},v_{3}\},\qquad B=\{v_{1},v_{2},v_{4}\}.
A tarefa é escolher qual das alternativas sobre w, A e B é correta. Em termos práticos precisamos responder:
  • A é base de \mathbb{R}^{3} (ou não)?
  • B é base de \mathbb{R}^{3} (ou não)?
  • w é combinação linear dos vetores de A e/ou de B?
Listei todos os dados relevantes acima; agora vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Conceitos rápidos (didático):
  • Uma combinação linear dos vetores \{u_1,u_2,u_3\} é um vetor da forma c_1u_1+c_2u_2+c_3u_3, onde c_i são escalares. Para verificar se um vetor w é combinação linear, montamos o sistema linear que expressa os coeficientes c_i.
  • Um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^{3} é base se e somente se os vetores são linearmente independentes (ou equivalentemente se o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas for diferente de zero). Isso é prático: calculamos o determinante da matriz M cujas colunas são os vetores; se \det(M)\neq 0, o conjunto é base.
Vou aplicar esses critérios a A e B e verificar representabilidade de w.

Passo 3

Verificando se A é base: monte a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
M_A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 6\\[4pt] 12 & 1 & 4\\[4pt] 6 & -12 & -1 \end{pmatrix}.
Calcule o determinante por expansão (regra de Sarrus ou desenvolvimento por co-fatores). Aqui uso desenvolvimento pela primeira linha:
\det(M_A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]-12 & -1\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots) +6\cdot\det\begin{pmatrix}12 & 1\\[4pt]6 & -12\end{pmatrix}.
Agora calcule os menores:
\det\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]-12 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-4\cdot(-12)=-1+48=47,
\det\begin{pmatrix}12 & 1\\[4pt]6 & -12\end{pmatrix}=12\cdot(-12)-1\cdot6=-144-6=-150.
Substituindo:
\det(M_A)=1\cdot 47 + 6\cdot(-150)=47-900=-853.
Como \det(M_A)=-853\neq 0, os vetores de A são linearmente independentes e, portanto, A é base de \mathbb{R}^{3}.]

Passo 4

Verificando se B é base: monte a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{4}:
M_B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\[4pt] 12 & 1 & 30\\[4pt] 6 & -12 & -60 \end{pmatrix}.
Calcule o determinante pelo mesmo procedimento (primeira linha):
\det(M_B)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 30\\[4pt]-12 & -60\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots) +2\cdot\det\begin{pmatrix}12 & 1\\[4pt]6 & -12\end{pmatrix}.
Os menores já calculados (o segundo é igual ao anterior):
\det\begin{pmatrix}1 & 30\\[4pt]-12 & -60\end{pmatrix}=1\cdot(-60)-30\cdot(-12)=-60+360=300,
\det\begin{pmatrix}12 & 1\\[4pt]6 & -12\end{pmatrix}=-150.
Logo
\det(M_B)=1\cdot 300 + 2\cdot(-150)=300-300=0.
Como \det(M_B)=0, os vetores de B são linearmente dependentes e, portanto, B NÃO é base de \mathbb{R}^{3}.]

Passo 5

Agora vamos verificar se w é combinação linear dos vetores de A. Como A é base de \mathbb{R}^{3}, todo vetor de \mathbb{R}^{3} (em particular w) pode ser escrito como combinação linear de A. Ainda assim, vou encontrar explicitamente os coeficientes para solidificar o entendimento.
Queremos c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=w. Em forma matricial:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 6\\[4pt] 12 & 1 & 4\\[4pt] 6 & -12 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}c_{1}\\[4pt]c_{2}\\[4pt]c_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\[4pt]-47\\[4pt]-36\end{pmatrix}.
Faço eliminação por linhas (mostro as operações):
Matriz aumentada inicial:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 6 & -4\\[4pt] 12 & 1 & 4 & -47\\[4pt] 6 & -12 & -1 & -36 \end{array}\right).
Operações:
\text{L}_2\leftarrow\text{L}_2-12\text{L}_1\quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 6 & -4\\[4pt] 0 & 1 & -68 & 1\\[4pt] 6 & -12 & -1 & -36 \end{array}\right).
\text{L}_3\leftarrow\text{L}_3-6\text{L}_1\quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 6 & -4\\[4pt] 0 & 1 & -68 & 1\\[4pt] 0 & -12 & -37 & -12 \end{array}\right).
\text{L}_3\leftarrow\text{L}_3+12\text{L}_2\quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 6 & -4\\[4pt] 0 & 1 & -68 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -853 & 0 \end{array}\right).
Da terceira linha: -853 c_{3}=0\Rightarrow c_{3}=0.
Da segunda linha: c_{2}-68c_{3}=1\Rightarrow c_{2}=1.
Da primeira linha: c_{1}+6c_{3}=-4\Rightarrow c_{1}=-4.
Verificação rápida:
-4v_{1}+1v_{2}+0v_{3}=-4(1,12,6)+(0,1,-12) =(-4,-48,-24)+(0,1,-12)=(-4,-47,-36)=w.
Portanto w é combinação linear dos vetores de A com coeficientes (c_{1},c_{2},c_{3})=(-4,1,0).]

Passo 6

Verificamos agora se w é combinação linear dos vetores de B. Montamos o sistema
d_{1}v_{1}+d_{2}v_{2}+d_{4}v_{4}=w,
ou seja, matriz aumentada
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & -4\\[4pt] 12 & 1 & 30 & -47\\[4pt] 6 & -12 & -60 & -36 \end{array}\right).
Faço eliminação:
\text{L}_2\leftarrow\text{L}_2-12\text{L}_1\quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & -4\\[4pt] 0 & 1 & 6 & 1\\[4pt] 6 & -12 & -60 & -36 \end{array}\right).
\text{L}_3\leftarrow\text{L}_3-6\text{L}_1\quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & -4\\[4pt] 0 & 1 & 6 & 1\\[4pt] 0 & -12 & -72 & -12 \end{array}\right).
\text{L}_3\leftarrow\text{L}_3+12\text{L}_2\quad\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & -4\\[4pt] 0 & 1 & 6 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).
A última linha é 0=0, então o sistema tem soluções (infinitas, porque M_B é singular). As equações resultantes são:
c_{2}+6c_{4}=1,\qquad c_{1}+2c_{4}=-4,
com c_{4} parâmetro livre. Em particular, escolhendo c_{4}=0 obtemos c_{1}=-4, c_{2}=1, c_{4}=0, que reproduz a solução anterior. Portanto existe pelo menos uma solução, logo w pertence ao span \{v_{1},v_{2},v_{4}\}: w é combinação linear dos vetores de B.]

Passo 7

Síntese e conclusão lógica:
  • Calculamos \det(M_A)=-853\neq 0, então A é base de \mathbb{R}^{3}.
  • Calculamos \det(M_B)=0, então B não é base de \mathbb{R}^{3}.
  • Encontramos explicitamente que w=-4v_{1}+1v_{2}+0v_{3}, então w é combinação linear dos vetores de A.
  • Resolvendo para B achamos que há soluções (infinitas) para representarem w, por exemplo w=-4v_{1}+1v_{2}+0v_{4}, então w também é combinação linear dos vetores de B.
Portanto a alternativa correta é a que diz: " w é combinação linear dos elementos de B e A é base para \mathbb{R}^{3}."

Resposta

w é combinação linear dos elementos de B e A é base para \mathbb{R}^{3}.

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