Exercício 15. Determine se os pontos A=(3,4,1), B=(5,10,-3) e C=(7,3,-3) formam um triângulo equilátero.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se os pontos A=(3,4,1), B=(5,10,-3) e C=(7,3,-3) formam um triângulo equilátero.
Informações dadas:
A=(3,4,1),\qquad B=(5,10,-3),\qquad C=(7,3,-3).
Passo 2
O que significa “triângulo equilátero”? Significa que os três lados têm o mesmo comprimento. Então a estratégia é calcular os comprimentos de \overline{AB}, \overline{AC} e \overline{BC} e verificar se são iguais.
Fórmula que vamos usar (distância no espaço 3D entre pontos): dado P=(x_1,y_1,z_1) e Q=(x_2,y_2,z_2),
Uma forma prática é calcular primeiro o vetor diferença \vec{PQ}=Q-P e usar \lVert \vec{PQ}\rVert^2=\vec{PQ}\cdot\vec{PQ} (ou seja, a soma dos quadrados das componentes). Comparar as normas ao quadrado evita calcular raízes desnecessárias.
Passo 3
Calcular o vetor \vec{AB} e seu quadrado da norma:
Como esses valores não são todos iguais, os comprimentos dos lados não são todos iguais. Portanto os pontos não formam um triângulo equilátero.
Passo 7
Rápida verificação adicional: para garantir que eles realmente formam um triângulo (e não estão colineares) podemos checar se \vec{AB} e \vec{AC} são múltiplos um do outro. Se fossem múltiplos, teríamos algum k tal que (4,-1,-4)=k(2,6,-4). Pela primeira coordenada teria k=2, mas então a segunda coordenada exigiria 6\cdot 2=-1, o que é falso. Logo não são colineares, portanto formam um triângulo — só que não equilátero.
Resposta
Não — os pontos não formam um triângulo equilátero.