Exercício 15. Determine se os pontos A=(3,4,1), B=(5,10,-3) e C=(7,3,-3) formam um triângulo equilátero.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se os pontos A=(3,4,1), B=(5,10,-3) e C=(7,3,-3) formam um triângulo equilátero.
Informações dadas:
A=(3,4,1),\qquad B=(5,10,-3),\qquad C=(7,3,-3).

Passo 2

O que significa “triângulo equilátero”? Significa que os três lados têm o mesmo comprimento. Então a estratégia é calcular os comprimentos de \overline{AB}, \overline{AC} e \overline{BC} e verificar se são iguais.
Fórmula que vamos usar (distância no espaço 3D entre pontos): dado P=(x_1,y_1,z_1) e Q=(x_2,y_2,z_2),
\text{dist}(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.
Uma forma prática é calcular primeiro o vetor diferença \vec{PQ}=Q-P e usar \lVert \vec{PQ}\rVert^2=\vec{PQ}\cdot\vec{PQ} (ou seja, a soma dos quadrados das componentes). Comparar as normas ao quadrado evita calcular raízes desnecessárias.

Passo 3

Calcular o vetor \vec{AB} e seu quadrado da norma:
\vec{AB}=B-A=(5-3,\;10-4,\;-3-1)=(2,6,-4).
Agora o quadrado do comprimento:
\lVert \vec{AB}\rVert^2=2^2+6^2+(-4)^2=4+36+16=56.
Logo \lVert \vec{AB}\rVert=\sqrt{56}=2\sqrt{14}.

Passo 4

Calcular o vetor \vec{AC} e seu quadrado da norma:
\vec{AC}=C-A=(7-3,\;3-4,\;-3-1)=(4,-1,-4).
Quadrado do comprimento:
\lVert \vec{AC}\rVert^2=4^2+(-1)^2+(-4)^2=16+1+16=33.
Logo \lVert \vec{AC}\rVert=\sqrt{33}.

Passo 5

Calcular o vetor \vec{BC} e seu quadrado da norma:
\vec{BC}=C-B=(7-5,\;3-10,\;-3-(-3))=(2,-7,0).
Quadrado do comprimento:
\lVert \vec{BC}\rVert^2=2^2+(-7)^2+0^2=4+49+0=53.
Logo \lVert \vec{BC}\rVert=\sqrt{53}.

Passo 6

Comparando os quadrados dos comprimentos obtivemos
\lVert \vec{AB}\rVert^2=56,\qquad \lVert \vec{AC}\rVert^2=33,\qquad \lVert \vec{BC}\rVert^2=53.
Como esses valores não são todos iguais, os comprimentos dos lados não são todos iguais. Portanto os pontos não formam um triângulo equilátero.

Passo 7

Rápida verificação adicional: para garantir que eles realmente formam um triângulo (e não estão colineares) podemos checar se \vec{AB} e \vec{AC} são múltiplos um do outro. Se fossem múltiplos, teríamos algum k tal que (4,-1,-4)=k(2,6,-4). Pela primeira coordenada teria k=2, mas então a segunda coordenada exigiria 6\cdot 2=-1, o que é falso. Logo não são colineares, portanto formam um triângulo — só que não equilátero.

Resposta

Não — os pontos não formam um triângulo equilátero.

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