Considere os vetores
e
. Determine se o vetor
é uma combinação linear dos vetores
e
. Se for, encontre os coeficientes dessa combinação linear.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
-
Vetores fornecidos:
-
-
O enunciado pede:
- Determinar se
é uma combinação linear de . - Se for, encontrar os coeficientes (os escalares) dessa combinação linear.
- Determinar se
Passo 2
O que significa ser combinação linear? Significa que existem escalares
tais que a soma ponderada das componentes dos vetores dá
. Escrevendo isso:
Aqui
são números reais desconhecidos que queremos achar. Se existir pelo menos um triplo
que satisfaça a igualdade, então
pertence ao span
— isto é,
é combinação linear dos três.
Passo 3
Passo natural: traduzir a igualdade vetorial para um sistema de equações escalares, coordenada a coordenada. Usando as componentes dos vetores dados, obtemos o sistema
Explicação rápida: cada equação corresponde a uma coordenada (primeira, segunda, terceira) comparando as somas nas componentes.
Passo 4
Vou resolver o sistema por substituição (método simples e direto aqui). Da terceira equação temos uma expressão direta para
:
Agora substituo essa expressão nas outras duas equações para eliminar
.
Substituindo em
:
Calculo passo a passo:
Multiplicando por
:
Dessa relação isolamos
:
Passo 5
Agora substituo
e
na primeira equação
.
Substituição e cálculo passo a passo:
Expandindo termos:
Agrupando termos semelhantes:
Isolando
:
Passo 6
Com
encontrado, volto para calcular
e
usando as expressões que já tínhamos.
Para
:
Para
:
Portanto o triplo de coeficientes é
Passo 7
Breve interpretação didática (útil para a prova):
- A existência desses coeficientes prova que
é combinação linear de . - Como o sistema teve solução única, isso indica que
são linearmente independentes em e, portanto, formam uma base de . Por isso a solução é única (em termos práticos: qualquer vetor de tem uma única escrita como combinação linear desses três). - Dica rápida para prova: ao ver pedido “é combinação linear?”, monte o sistema das coordenadas e resolva por eliminação ou substituição. Se houver solução, sim; se não houver, não. Se a solução for única, os vetores são independentes; se houver infinitas soluções, são dependentes.
Resposta
Sim.