Considere os vetores \mathbf{v}_{1}=(2,3,1), \mathbf{v}_{2}=(-1,0,2) e \mathbf{v}_{3}=(4,-1,0). Determine se o vetor \mathbf{b}=(5,4,3) é uma combinação linear dos vetores \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} e \mathbf{v}_{3}. Se for, encontre os coeficientes dessa combinação linear.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • Vetores fornecidos:
    • \mathbf{v}_{1}=(2,3,1)
    • \mathbf{v}_{2}=(-1,0,2)
    • \mathbf{v}_{3}=(4,-1,0)
    • \mathbf{b}=(5,4,3)
  • O enunciado pede:
    1. Determinar se \mathbf{b} é uma combinação linear de \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}.
    2. Se for, encontrar os coeficientes (os escalares) dessa combinação linear.

Passo 2

O que significa ser combinação linear? Significa que existem escalares x,y,z tais que a soma ponderada das componentes dos vetores dá \mathbf{b}. Escrevendo isso:
x\mathbf{v}_{1}+y\mathbf{v}_{2}+z\mathbf{v}_{3}=\mathbf{b}.
Aqui x,y,z são números reais desconhecidos que queremos achar. Se existir pelo menos um triplo (x,y,z) que satisfaça a igualdade, então \mathbf{b} pertence ao span \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\} — isto é, \mathbf{b} é combinação linear dos três.

Passo 3

Passo natural: traduzir a igualdade vetorial para um sistema de equações escalares, coordenada a coordenada. Usando as componentes dos vetores dados, obtemos o sistema
2x - y + 4z = 5
3x \;-\; z = 4
x + 2y = 3
Explicação rápida: cada equação corresponde a uma coordenada (primeira, segunda, terceira) comparando as somas nas componentes.

Passo 4

Vou resolver o sistema por substituição (método simples e direto aqui). Da terceira equação temos uma expressão direta para x:
x + 2y = 3 \quad\Rightarrow\quad x = 3 - 2y.
Agora substituo essa expressão nas outras duas equações para eliminar x.
Substituindo em \;3x - z = 4\;:
3(3-2y) - z = 4.
Calculo passo a passo:
9 - 6y - z = 4 \quad\Rightarrow\quad -6y - z = -5.
Multiplicando por -1:
6y + z = 5.
Dessa relação isolamos z:
z = 5 - 6y.

Passo 5

Agora substituo x=3-2y e z=5-6y na primeira equação \;2x - y + 4z = 5\;.
Substituição e cálculo passo a passo:
2(3-2y) - y + 4(5-6y) = 5.
Expandindo termos:
6 - 4y - y + 20 - 24y = 5.
Agrupando termos semelhantes:
(6+20) + (-4y - y -24y) = 5
26 - 29y = 5.
Isolando y:
-29y = 5 - 26 = -21 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{21}{29}.

Passo 6

Com y encontrado, volto para calcular x e z usando as expressões que já tínhamos.
Para x:
x = 3 - 2y = 3 - 2\cdot\frac{21}{29} = \frac{87}{29} - \frac{42}{29} = \frac{45}{29}.
Para z:
z = 5 - 6y = 5 - 6\cdot\frac{21}{29} = \frac{145}{29} - \frac{126}{29} = \frac{19}{29}.
Portanto o triplo de coeficientes é
\left(x,y,z\right)=\left(\frac{45}{29},\;\frac{21}{29},\;\frac{19}{29}\right).

Passo 7

Breve interpretação didática (útil para a prova):
  • A existência desses coeficientes prova que \mathbf{b} é combinação linear de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3.
  • Como o sistema teve solução única, isso indica que \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 são linearmente independentes em \mathbb{R}^3 e, portanto, formam uma base de \mathbb{R}^3. Por isso a solução é única (em termos práticos: qualquer vetor de \mathbb{R}^3 tem uma única escrita como combinação linear desses três).
  • Dica rápida para prova: ao ver pedido “é combinação linear?”, monte o sistema das coordenadas e resolva por eliminação ou substituição. Se houver solução, sim; se não houver, não. Se a solução for única, os vetores são independentes; se houver infinitas soluções, são dependentes.

Resposta

Sim. \mathbf{b}=\dfrac{45}{29}\mathbf{v}_{1}+\dfrac{21}{29}\mathbf{v}_{2}+\dfrac{19}{29}\mathbf{v}_{3}

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