Dado o conjunto de vetores \mathbf{v}_{1}=(1,0,-2), \mathbf{v}_{2}=(0,1,3) e \mathbf{v}_{3}=(2,-1,1), determine se o vetor \mathbf{b}=(3,-1,4) pode ser expresso como uma combinação linear desses vetores. Se sim, encontre os coeficientes.
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede para verificar se o vetor \mathbf{b} pode ser escrito como combinação linear deles e, se puder, encontrar os coeficientes. Informações fornecidas:
\mathbf{v}_{1}=(1,0,-2).
\mathbf{v}_{2}=(0,1,3).
\mathbf{v}_{3}=(2,-1,1).
\mathbf{b}=(3,-1,4).
O que é pedido explicitamente:
Determinar se existem escalares (coeficientes) x,y,z tais que \;x\mathbf{v}_1+y\mathbf{v}_2+z\mathbf{v}_3=\mathbf{b}.
Passo 2
Explicação do conceito usado: combinação linear.
Dizer que \mathbf{b} é combinação linear de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 significa que existem números (escalares) x,y,z tais que cada componente de \mathbf{b} é a soma correspondente das componentes multiplicadas pelos escalares.
Escrever a equação componente a componente. Substituindo os vetores:
x(1,0,-2)+y(0,1,3)+z(2,-1,1)=(3,-1,4).
Isto gera o sistema de três equações (uma por componente):
\begin{cases} x + 2z = 3,\\[4pt] y - z = -1,\\[4pt] -2x + 3y + z = 4. \end{cases}]
Passo 4
Escolha do método de resolução e porquê.
Aqui as duas primeiras equações já isolam x e y facilmente em função de z. Então o método de substituição é simples e eficiente: resolver duas equações para x e y em termos de z e substituir na terceira para obter z.
Esse é um método básico de resolver sistemas lineares manualmente sem calculadora.
Passo 5
Isolar x e y em função de z usando as primeiras duas equações.
Da primeira equação:
x+2z=3 \quad\Rightarrow\quad x=3-2z.
Da segunda equação:
y-z=-1 \quad\Rightarrow\quad y=-1+z.
Passo 6
Substituir x e y na terceira equação e resolver para z.
A terceira equação é -2x+3y+z=4. Substituindo x=3-2z e y=-1+z:
-2(3-2z)+3(-1+z)+z=4.
Agora calcular passo a passo:
-6+4z-3+3z+z=4.
Agrupando constantes e termos com z:
(-6-3)+(4z+3z+z)=-9+8z=4.
Isolando z:
8z=4+9=13 \quad\Rightarrow\quad z=\tfrac{13}{8}.
Passo 7
Determinar x e y usando o valor de z.
Usar x=3-2z:
Verificação (checar que a combinação com esses coeficientes realmente dá \mathbf{b}).
Calcular cada componente de x\mathbf{v}_1+y\mathbf{v}_2+z\mathbf{v}_3:
Primeira componente: x+2z=-\tfrac{1}{4}+2\cdot\tfrac{13}{8}=-\tfrac{1}{4}+\tfrac{26}{8}=-\tfrac{1}{4}+\tfrac{13}{4}=\tfrac{12}{4}=3.
Segunda componente: y-z=\tfrac{5}{8}-\tfrac{13}{8}=-\tfrac{8}{8}=-1.
Terceira componente: -2x+3y+z=-2(-\tfrac{1}{4})+3\cdot\tfrac{5}{8}+\tfrac{13}{8}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{15}{8}+\tfrac{13}{8}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{28}{8}=\tfrac{1}{2}+3{,}5=4.
As três componentes coincidem com \mathbf{b}=(3,-1,4), logo a verificação está correta.
Passo 9
Conclusão e comentário final.
Sim, \mathbf{b} pode ser expresso como combinação linear de \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3.
Os coeficientes encontrados são únicos neste caso (obtivemos uma solução única para x,y,z), portanto a representação é determinada.