Considere os vetores \mathbf{v}_{1}=(1,2,0), \mathbf{v}_{2}=(0,-1,1) e \mathbf{v}_{3}=(2,1,-2). Determine se o vetor \mathbf{b}=(-1,3,-1) é uma combinação linear dos vetores \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} e \mathbf{v}_{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores (peguei estes dados do enunciado):
  • \mathbf{v}_{1}=(1,2,0)
  • \mathbf{v}_{2}=(0,-1,1)
  • \mathbf{v}_{3}=(2,1,-2)
  • \mathbf{b}=(-1,3,-1)
O que é pedido: verificar se \mathbf{b} é uma combinação linear de \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}. Em termos práticos, isso significa responder se existem escalares (números) \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\mathbf{v}_{1}+\beta\mathbf{v}_{2}+\gamma\mathbf{v}_{3}=\mathbf{b}.

Passo 2

Explicando o que significa ser combinação linear (passo didático tranquilo): dizer que \mathbf{b} é combinação linear dos vetores significa que dá para somar versões escaladas deles para obter \mathbf{b}. Aqui os incógnitos são os escalares \alpha,\beta,\gamma. Vou escrever a igualdade vetorial e traduzir isso em um sistema de equações para resolver.
Escrevendo a igualdade vetorial:
\alpha(1,2,0)+\beta(0,-1,1)+\gamma(2,1,-2)=(-1,3,-1).

Passo 3

Agora vamos traduzir componente a componente (cada coordenada gera uma equação). Multiplicando e somando coordenadas obtemos o sistema:
\begin{cases} \alpha + 0\beta + 2\gamma = -1,\\[4pt] 2\alpha - \beta + \gamma = 3,\\[4pt] 0\alpha + \beta - 2\gamma = -1. \end{cases}
Vou simplificar escrevendo sem termos nulos:
\begin{cases} \alpha + 2\gamma = -1,\\[4pt] 2\alpha - \beta + \gamma = 3,\\[4pt] \beta - 2\gamma = -1. \end{cases}]

Passo 4

Método de resolução (substituição simples, fácil de fazer sem calculadora): isolar uma variável em uma das equações e substituir nas outras.
Da terceira equação isolo \beta:
\beta = 2\gamma -1.
Substituo \beta na segunda equação:
2\alpha - (2\gamma -1) + \gamma = 3.
Faço as contas passo a passo:
2\alpha -2\gamma +1 +\gamma = 3,
2\alpha -\gamma +1 = 3,
2\alpha -\gamma = 2.
Isolando \alpha em função de \gamma:
2\alpha = \gamma +2 \quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{\gamma+2}{2}.

Passo 5

Agora uso a primeira equação \alpha + 2\gamma = -1 e substituo \alpha obtido:
\frac{\gamma+2}{2} + 2\gamma = -1.
Multiplico ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
\gamma + 2 + 4\gamma = -2.
Somando termos semelhantes:
5\gamma + 2 = -2,
5\gamma = -4,
\gamma = -\frac{4}{5}.

Passo 6

Com \gamma encontrado, volto às expressões para \alpha e \beta.
Calculo \alpha:
\alpha = \frac{\gamma+2}{2} = \frac{-\tfrac{4}{5}+2}{2} = \frac{\tfrac{-4+10}{5}}{2} = \frac{\tfrac{6}{5}}{2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}.
Calculo \beta:
\beta = 2\gamma - 1 = 2\left(-\frac{4}{5}\right) -1 = -\frac{8}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{13}{5}.
Portanto os escalares são
\alpha=\frac{3}{5},\qquad \beta=-\frac{13}{5},\qquad \gamma=-\frac{4}{5}.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcular a combinação com esses coeficientes e checar componente a componente.
Primeira componente:
\alpha\cdot 1 + \beta\cdot 0 + \gamma\cdot 2 = \frac{3}{5} + 0 + 2\left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5} - \frac{8}{5} = -\frac{5}{5}=-1.
Segunda componente:
\alpha\cdot 2 + \beta\cdot (-1) + \gamma\cdot 1 = 2\cdot\frac{3}{5} -\left(-\frac{13}{5}\right) + \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{6}{5} + \frac{13}{5} - \frac{4}{5} = \frac{15}{5}=3.
Terceira componente:
\alpha\cdot 0 + \beta\cdot 1 + \gamma\cdot (-2) = 0 -\frac{13}{5} -2\left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{13}{5} + \frac{8}{5} = -\frac{5}{5}=-1.
As três componentes conferem com \mathbf{b}=(-1,3,-1), logo a verificação está correta.

Resposta

\mathbf{b}=\dfrac{3}{5}\mathbf{v}_{1}-\dfrac{13}{5}\mathbf{v}_{2}-\dfrac{4}{5}\mathbf{v}_{3}

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