Considere os vetores
e
:
a) Calcule o produto escalar
.
b) Determine o ângulo
entre
e
usando a relação:
a) Calcule o produto escalar
b) Determine o ângulo
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em componentes cartesianos:
Pede-se:
(a) calcular o produto escalar ;
(b) determinar o ângulo entre
e
usando a relação
(a) calcular o produto escalar
(b) determinar o ângulo
Listei as informações dadas (as componentes) e as duas perguntas que devemos responder.
Passo 2
Vou explicar a fórmula do produto escalar em componentes e aplicá-la. Para dois vetores
o produto escalar é definido por
Aqui
e
são as componentes nos eixos
. Aplicando aos vetores dados:
e
. Agora calculo termo a termo:
Faço as multiplicações:
,
,
. Somando:
Passo 3
Agora preciso das normas (módulos) dos vetores para usar na fórmula do cosseno. A norma de um vetor
é
porque vem do teorema de Pitágoras em 3D (soma dos quadrados das componentes). Calculo para
:
E para
:
Passo 4
Agora uso a relação dada para o cosseno do ângulo:
Simplifico o denominador:
. Note que
, logo
. Portanto
Isso é uma forma exata muito bonita. Agora obtenho
aplicando o arccos:
Para uma aproximação numérica, primeiro
. Tomando arccos (graus):
Em radianos isso equivale aproximadamente a
Resposta
(a)
(b)
(b)