Considere os vetores \vec{C}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k} e \vec{D}=4 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k} :
a) Calcule o produto escalar \vec{C} \cdot \vec{D}.
b) Determine o ângulo \theta entre \vec{C} e \vec{D} usando a relação:
\cos \theta=\frac{\vec{C} \cdot \vec{D}}{|\vec{C}||\vec{D}|}

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em componentes cartesianos:
\vec{C}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}, \qquad \vec{D}=4\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}.
Pede-se:
(a) calcular o produto escalar \vec{C}\cdot\vec{D};
(b) determinar o ângulo \theta entre \vec{C} e \vec{D} usando a relação
\cos\theta=\frac{\vec{C}\cdot\vec{D}}{|\vec{C}||\vec{D}|}.
Listei as informações dadas (as componentes) e as duas perguntas que devemos responder.

Passo 2

Vou explicar a fórmula do produto escalar em componentes e aplicá-la. Para dois vetores
\vec{a}=a_x\hat{i}+a_y\hat{j}+a_z\hat{k}, \qquad \vec{b}=b_x\hat{i}+b_y\hat{j}+b_z\hat{k},
o produto escalar é definido por
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Aqui a_x,a_y,a_z e b_x,b_y,b_z são as componentes nos eixos x,y,z. Aplicando aos vetores dados: a_x=3,\;a_y=-2,\;a_z=1 e b_x=4,\;b_y=2,\;b_z=-1. Agora calculo termo a termo:
\vec{C}\cdot\vec{D}=3\cdot4 + (-2)\cdot2 + 1\cdot(-1).
Faço as multiplicações: 3\cdot4=12, (-2)\cdot2=-4, 1\cdot(-1)=-1. Somando:
\vec{C}\cdot\vec{D}=12-4-1=7.

Passo 3

Agora preciso das normas (módulos) dos vetores para usar na fórmula do cosseno. A norma de um vetor \vec{a}=a_x\hat{i}+a_y\hat{j}+a_z\hat{k} é
|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2},
porque vem do teorema de Pitágoras em 3D (soma dos quadrados das componentes). Calculo para \vec{C}:
|\vec{C}|=\sqrt{3^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}.
E para \vec{D}:
|\vec{D}|=\sqrt{4^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{16+4+1}=\sqrt{21}.

Passo 4

Agora uso a relação dada para o cosseno do ângulo:
\cos\theta=\frac{\vec{C}\cdot\vec{D}}{|\vec{C}||\vec{D}|} =\frac{7}{\sqrt{14}\,\sqrt{21}}.
Simplifico o denominador: \sqrt{14}\,\sqrt{21}=\sqrt{14\cdot21}=\sqrt{294}. Note que 294=49\cdot6, logo \sqrt{294}=\sqrt{49\cdot6}=7\sqrt{6}. Portanto
\cos\theta=\frac{7}{7\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}.
Isso é uma forma exata muito bonita. Agora obtenho \theta aplicando o arccos:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right).
Para uma aproximação numérica, primeiro \dfrac{1}{\sqrt{6}}\approx0{,}40824829. Tomando arccos (graus):
\theta\approx65{,}905^\circ.
Em radianos isso equivale aproximadamente a
\theta\approx1{,}1503\\ \text{rad}.

Resposta

(a) \vec{C}\cdot\vec{D}=7
(b) \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{6}}\right)\approx65{,}905^\circ\approx1{,}1503\\ \text{rad}

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