7.1 One of the following is not a source of magnetostatic fields:
(a) A dc current in a wire
(b) A permanent magnet
(c) An accelerated charge
(d) An electric field linearly changing with time
(e) A charged disk rotating at uniform speed

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha, entre as alternativas dadas, qual delas NÃO é uma fonte de campos magnetostáticos. As alternativas são:
(a) Um corrente contínua ( dc) num fio.
(b) Um ímã permanente.
(c) Uma carga acelerada.
(d) Um campo elétrico que varia linearmente no tempo.
(e) Um disco carregado girando com velocidade uniforme.
O que se pede: identificar qual dessas situações não pode ser uma fonte de um campo magnético magnetostático (isto é, um campo magnético que seja estático no tempo).

Passo 2

O que significa “magnetostático”?
  • Magnetostática refere-se a campos magnéticos \mathbf{B} que NÃO dependem do tempo: \partial\mathbf{B}/\partial t = \mathbf{0}.
  • Em termos das equações de Maxwell, a forma relevante é a lei de Ampère–Maxwell:
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\left(\mathbf{J}+\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\right).
Aqui \mathbf{J} é a densidade de corrente elétrica, \varepsilon_0 a permissividade do vácuo e \mu_0 a permeabilidade do vácuo.
  • Outra equação importante é a lei de Faraday:
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.
Para ter \partial\mathbf{B}/\partial t=\mathbf{0} (campo magnético estático) é necessário que \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0} — ou seja, o campo elétrico não pode ter uma circulação que varie no tempo; caso contrário \mathbf{B} varia.
Vou usar essas ideias para examinar cada alternativa.

Passo 3

Análise da alternativa (a): “Um corrente contínua ( dc) num fio.”
  • Uma corrente dc significa uma densidade de corrente \mathbf{J} constante no tempo ( \partial\mathbf{J}/\partial t=0).
  • Pela lei de Ampère–Maxwell, com \partial\mathbf{E}/\partial t=0 também (se não houver campo elétrico variando), tem-se \nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J} constante no tempo. Isso gera um \mathbf{B} estático (ex.: campo circular ao redor do fio, lei de Ampère clássica).
  • Conclusão: um dc em fio é sim fonte de campo magnetostático.

Passo 4

Análise da alternativa (b): “Um ímã permanente.”
  • Um ímã permanente possui magnetização estática \mathbf{M}(\mathbf{r}) que cria densidades de corrente de magnetização eficazes ou diretamente um \mathbf{B} estável.
  • O campo magnético de um ímã permanente é tipicamente independente do tempo (se o ímã não muda).
  • Conclusão: ímã permanente é fonte de campo magnetostático.

Passo 5

Análise da alternativa (e): “Um disco carregado girando com velocidade uniforme.”
  • Um disco carregado que gira com velocidade angular constante \omega tem cargas em movimento com velocidade constante em módulo e trajetória circular, isto é, há uma densidade de corrente elétrica efetiva \mathbf{J}(\mathbf{r}) estacionária (não depende do tempo no referencial do laboratório).
  • Corrente estacionária implica, como em (a), uma fonte para um \mathbf{B} que é estático no tempo. Ex.: um anel carregado girando gera um dipolo magnético permanente.
  • Conclusão: disco carregado girando uniformemente é fonte de campo magnetostático.

Passo 6

Análise da alternativa (d): “Um campo elétrico que varia linearmente no tempo.”
  • Se \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_0(\mathbf{r}) + \mathbf{a}(\mathbf{r})\,t, então \partial\mathbf{E}/\partial t=\mathbf{a}(\mathbf{r}), que é constante no tempo.
  • Pela lei de Ampère–Maxwell:
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\left(\mathbf{J}+\varepsilon_0\mathbf{a}(\mathbf{r})\right).
Se \mathbf{J} e \mathbf{a} não dependem do tempo, \nabla\times\mathbf{B} é estacionário — portanto é possível ter um \mathbf{B} que também seja independente do tempo.
  • Deve também satisfazer a lei de Faraday: \nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t. Se \mathbf{E} varia no tempo mas é irrotacional espacialmente ( \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}), então \partial\mathbf{B}/\partial t=\mathbf{0} e \mathbf{B} pode ser estático. Um exemplo físico clássico: entre placas paralelas com campo elétrico uniforme que cresce linearmente no tempo, a variação \partial\mathbf{E}/\partial t age como uma corrente de deslocamento constante; essa corrente de deslocamento produz um \mathbf{B} estacionário ao redor (como no caso do capacitor com corrente constante).
  • Portanto um campo elétrico que varia linearmente no tempo pode, em certas configurações (por exemplo quando \nabla\times\mathbf{E}=0 espacialmente), ser fonte de um campo magnético que é magnetostático (ou seja, \mathbf{B} independente do tempo).
  • Conclusão: (d) NÃO é necessariamente excluído como fonte de magnetostática — em muitos casos ele pode gerar um \mathbf{B} estático via corrente de deslocamento constante.

Passo 7

Análise da alternativa (c): “Uma carga acelerada.”
  • Uma carga que acelera produz campos elétricos e magnéticos que dependem do tempo de maneira essencial. Além dos termos de campo “indutivos” próximos à carga, existe o termo radiativo que varia no tempo e se propaga (ondas eletromagnéticas). Essas flutuações dependem da aceleração e não podem ser descritas por uma corrente estacionária ou por uma \partial\mathbf{E}/\partial t constante no tempo.
  • Em particular, um objeto acelerando gera \partial\mathbf{B}/\partial t\neq 0 em geral — o campo magnético muda no tempo (radiação eletromagnética, sinais retardados, etc.). Não se obtém um campo magnético estritamente estático a partir de uma carga em aceleração.
  • Conclusão: uma carga acelerada NÃO pode ser fonte de um campo magnetostático.

Passo 8

Comparando as conclusões anteriores:
  • (a) é fonte de magnetostática.
  • (b) é fonte de magnetostática.
  • (e) é fonte de magnetostática.
  • (d) pode ser fonte de magnetostática em situações onde \partial\mathbf{E}/\partial t é constante no tempo e \nabla\times\mathbf{E}=0 (por exemplo \mathbf{E} uniforme crescendo linearmente) — portanto não está automaticamente excluído.
  • (c) produz necessariamente campos magnéticos dependentes do tempo (incluindo radiação) e, por isso, não é uma fonte de campos magnetostáticos.

Resposta

(c)

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