Para os vetores \vec{P}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \vec{Q}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k} \mathrm{e} \vec{R}=-\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k} :
a) Calcule o produto vetorial \vec{Q} \times \vec{R}.
b) Encontre o produto misto \vec{P} \cdot(\vec{Q} \times \vec{R}) e interprete seu significado geométrico.

Passo 1

O enunciado dá os vetores (escrevo os componentes que vou usar nas contas):
  • \vec{P}=2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}. Portanto os componentes de \vec{P} são \,(2,-1,1).
  • \vec{Q}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}. Portanto os componentes de \vec{Q} são \,(1,2,-1).
  • \vec{R}=-\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}. Portanto os componentes de \vec{R} são \,(-1,1,2).
O enunciado pede:
a) Calcular o produto vetorial \vec{Q}\times\vec{R}.
b) Calcular o produto misto \vec{P}\cdot(\vec{Q}\times\vec{R}) e interpretar geometricamente o resultado.

Passo 2

O que é e como calcular o produto vetorial (rápida aula-prática):
  • O produto vetorial \vec{A}\times\vec{B} entre dois vetores em \mathbb{R}^3 é um vetor perpendicular a ambos \vec{A} e \vec{B}.
  • A magnitude \|\vec{A}\times\vec{B}\| é a área do paralelogramo formado por \vec{A} e \vec{B}.
  • Em componentes, usando as componentes \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z), uma forma prática de calcular é:
\vec{A}\times\vec{B}=(A_yB_z-A_zB_y)\,\hat{i}+(A_zB_x-A_xB_z)\,\hat{j}+(A_xB_y-A_yB_x)\,\hat{k}.
  • Outra forma equivalente é o determinante com a primeira linha \hat{i},\hat{j},\hat{k}, segunda linha as componentes de \vec{A} e terceira linha as componentes de \vec{B}. Ambas são a mesma conta reorganizada.
Vou aplicar essa fórmula para \vec{Q}\times\vec{R}.

Passo 3

Calcular cada componente de \vec{Q}\times\vec{R}, usando \vec{Q}=(1,2,-1) e \vec{R}=(-1,1,2).
Componente em \hat{i}:
(\vec{Q}\times\vec{R})_x = Q_y R_z - Q_z R_y = 2\cdot 2 - (-1)\cdot 1 = 4 + 1 = 5.
Componente em \hat{j}:
(\vec{Q}\times\vec{R})_y = Q_z R_x - Q_x R_z = (-1)\cdot(-1) - 1\cdot 2 = 1 - 2 = -1.
Componente em \hat{k}:
(\vec{Q}\times\vec{R})_z = Q_x R_y - Q_y R_x = 1\cdot 1 - 2\cdot(-1) = 1 + 2 = 3.
Portanto o produto vetorial é
\vec{Q}\times\vec{R}=5\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}.

Passo 4

O que é e como calcular o produto misto (rápida aula-prática):
  • O produto misto \vec{P}\cdot(\vec{Q}\times\vec{R}) é um número real (escalar).
  • Ele pode ser calculado fazendo primeiro \vec{Q}\times\vec{R} e depois o produto escalar com \vec{P}; ou diretamente como o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes de \vec{P},\vec{Q},\vec{R}.
  • Geometricamente, o valor absoluto |\vec{P}\cdot(\vec{Q}\times\vec{R})| é o volume do paralelepípedo construído sobre \vec{P},\vec{Q},\vec{R}. O sinal (positivo ou negativo) indica orientação (se a tríade \vec{P},\vec{Q},\vec{R} é de mão direita ou esquerda).
Vou calcular usando o vetor que já encontrei para \vec{Q}\times\vec{R}.

Passo 5

Calcular \vec{P}\cdot(\vec{Q}\times\vec{R}) com \vec{P}=(2,-1,1) e \vec{Q}\times\vec{R}=(5,-1,3).
Produto escalar:
\vec{P}\cdot(\vec{Q}\times\vec{R}) = P_x (Q\times R)_x + P_y (Q\times R)_y + P_z (Q\times R)_z.
Substituindo os valores:
\vec{P}\cdot(\vec{Q}\times\vec{R}) = 2\cdot 5 + (-1)\cdot(-1) + 1\cdot 3 = 10 + 1 + 3 = 14.

Passo 6

Interpretação geométrica (explicação didática e direta):
  • O número 14 é o produto misto, e |14|=14 é o volume do paralelepípedo formado pelos vetores \vec{P},\vec{Q},\vec{R}.
  • Como o produto misto deu positivo ( 14>0), isso indica que a tríade (\vec{P},\vec{Q},\vec{R}) tem orientação direta (mão direita): ou seja, \vec{Q}\times\vec{R} apontando em direção tal que o produto escalar com \vec{P} é positivo.
  • Resumindo: o valor absoluto dá o volume; o sinal dá a orientação (positivo = mão direita).

Resposta

a) \vec{Q}\times\vec{R}=5\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}
b) \vec{P}\cdot(\vec{Q}\times\vec{R})=14. Geometricamente, |14|=14 é o volume do paralelepípedo formado por \vec{P},\vec{Q},\vec{R}; o sinal positivo indica orientação de mão direita.

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