Para os vetores
:
a) Calcule o produto vetorial
.
b) Encontre o produto misto
e interprete seu significado geométrico.
a) Calcule o produto vetorial
b) Encontre o produto misto
Passo 1
O enunciado dá os vetores (escrevo os componentes que vou usar nas contas):
-
. Portanto os componentes de são . -
. Portanto os componentes de são . -
. Portanto os componentes de são .
O enunciado pede:
a) Calcular o produto vetorial .
b) Calcular o produto misto e interpretar geometricamente o resultado.
a) Calcular o produto vetorial
b) Calcular o produto misto
Passo 2
O que é e como calcular o produto vetorial (rápida aula-prática):
- O produto vetorial
entre dois vetores em é um vetor perpendicular a ambos e . - A magnitude
é a área do paralelogramo formado por e . - Em componentes, usando as componentes
e , uma forma prática de calcular é:
- Outra forma equivalente é o determinante com a primeira linha
, segunda linha as componentes de e terceira linha as componentes de . Ambas são a mesma conta reorganizada.
Vou aplicar essa fórmula para
.
Passo 3
Calcular cada componente de
, usando
e
.
Componente em
:
Componente em
:
Componente em
:
Portanto o produto vetorial é
Passo 4
O que é e como calcular o produto misto (rápida aula-prática):
- O produto misto
é um número real (escalar). - Ele pode ser calculado fazendo primeiro
e depois o produto escalar com ; ou diretamente como o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes de . - Geometricamente, o valor absoluto
é o volume do paralelepípedo construído sobre . O sinal (positivo ou negativo) indica orientação (se a tríade é de mão direita ou esquerda).
Vou calcular usando o vetor que já encontrei para
.
Passo 5
Calcular
com
e
.
Produto escalar:
Substituindo os valores:
Passo 6
Interpretação geométrica (explicação didática e direta):
- O número
é o produto misto, e é o volume do paralelepípedo formado pelos vetores . - Como o produto misto deu positivo (
), isso indica que a tríade tem orientação direta (mão direita): ou seja, apontando em direção tal que o produto escalar com é positivo. - Resumindo: o valor absoluto dá o volume; o sinal dá a orientação (positivo = mão direita).
Resposta
a)
b) . Geometricamente,
é o volume do paralelepípedo formado por
; o sinal positivo indica orientação de mão direita.
b)