Considere os vetores vec{u}=(1,0,1), \vec{v}=(0,-2,1) e vec{w}=(1,4,0) relativos a uma base ortonormal B. Determine:
Um vetor \vec{a} de norma 2 ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}.

Passo 1

O enunciado pede um vetor \vec{a} em \mathbb{R}^3 que seja ortogonal a \vec{u}=(1,0,1) e \vec{v}=(0,-2,1) e tenha norma igual a 2.
Para isso, vamos usar o produto vetorial para gerar um vetor perpendicular aos dois e depois normalizá-lo.

Passo 2

Calculamos o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}, que é perpendicular a \vec{u} e \vec{v}:
\vec{u}\times \vec{v} = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 1 & 0 & 1 \\[3pt] 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} = (0\cdot1 - 1\cdot(-2),\;-(1\cdot1 - 1\cdot0),\;1\cdot(-2) - 0\cdot0) = (2,\,-1,\,-2).]

Passo 3

Calculamos a norma de (2,-1,-2):
\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3.

Passo 4

Para obter norma 2, basta escalar esse vetor por 2/3:
\vec{a} = \frac{2}{3}\,(2,\,-1,\,-2) = \bigl(\tfrac{4}{3},\,-\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{4}{3}\bigr).

Resposta

\displaystyle \vec{a}=\bigl(\tfrac{4}{3},-\tfrac{2}{3},-\tfrac{4}{3}\bigr)

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