Considere os vetores vec{u}=(1,0,2), \vec{v}=(1,-1,-1) e w=(-2,2, m+1). Pede-se:
O valor de m de modo que os vetores \vec{w}-\vec{u} e 2 \vec{v} sejam ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,0,2), \vec{v}=(1,-1,-1) e \vec{w}=(-2,2,m+1) e pede o valor de m para que os vetores \vec{w}-\vec{u} e 2\vec{v} sejam ortogonais. O conteúdo aqui é produto escalar e condição de ortogonalidade: dois vetores são ortogonais se, e somente se, seu produto escalar é zero.

Passo 2

Vamos calcular primeiro
\vec{w}-\vec{u} = (-2,2,m+1) - (1,0,2) = (-2-1,\;2-0,\;(m+1)-2) = (-3,\;2,\;m-1)
e também
2\vec{v} =2\,(1,-1,-1) =(2,-2,-2).

Passo 3

A condição de ortogonalidade é
(\vec{w}-\vec{u}) \cdot (2\vec{v}) = 0.
Calculando o produto escalar,
(-3,2,m-1)\cdot(2,-2,-2) = -3\cdot2 \;+\;2\cdot(-2)\;+\;(m-1)\cdot(-2).
Isso resulta em
-6 -4 -2(m-1) = -10 -2m +2 = -8 -2m.
Impondo zero,
-8 -2m = 0 \quad\Longrightarrow\quad -2m = 8 \quad\Longrightarrow\quad m = -4.

Resposta

m = -4

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