Dimensionar uma viga, dado o momento fletor de \mathrm{Mk}=+7000 \mathrm{kN} . \mathrm{cm} e seção transversal (bw =15 \mathrm{~cm} e \mathrm{h}=40 \mathrm{~cm} ). Determinar a armadura longitudinal de flexão. Classe de agressividade ambiental II (\operatorname{cob}=30 \mathrm{~mm}), \gamma_{c}=1,4, \gamma_{f}=1,4, \gamma_{s}=1,15. Concreto C25, aço CA-50

Passo 1

Vou colocar em ordem tudo o que o enunciado nos deu e o que ele pede (sem resolver ainda), para a gente não se perder:
  • Momento característico: M_k = +7000\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{cm}.
  • Largura da alma (largura útil da viga): b_w = 15\\ \mathrm{cm}.
  • Altura total da seção: h = 40\\ \mathrm{cm}.
  • Cobrimento: \mathrm{cob} = 30\\ \mathrm{mm} = 3\\ \mathrm{cm}.
  • Fatores de segurança: \gamma_c = 1,4, \gamma_f = 1,4, \gamma_s = 1,15.
  • Concreto: C25 (ou seja, f_{ck}=25\\ \mathrm{MPa}).
  • Aço: CA‑50 (ou seja, f_{yk}=500\\ \mathrm{MPa}).
  • Pedido do enunciado: determinar a armadura longitudinal de flexão (área de armadura e arranjo prático).

Passo 2

Escolha do método e conversões iniciais (explicando passo a passo como a gente vai trabalhar).
  • Motivo do método: como é dimensionamento de viga à flexão simples e sem indicar solicitações especiais, a abordagem prática que se usa em prova é:
    • transformar o momento característico em momento de projeto multiplicando por \gamma_f;
    • estimar a armadura necessária usando a relação do equilíbrio de momentos M_{sd} = A_s f_{yd}\, z, com z sendo braço de alavanca interno. Para projeto preliminar, usa‑se uma aproximação conservadora z\approx 0{,}9\,d; depois faz‑se verificação mais precisa com o bloco retangular de tensões.
  • Primeiro passo: momento de projeto M_d = \gamma_f\, M_k = 1{,}4 \cdot 7000 = 9800\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{cm}.(este é o momento que a armadura precisa resistir).
  • Tensões de cálculo do material: f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s} = \frac{500}{1{,}15}\approx 434{,}78\\ \mathrm{MPa}.Explicação de unidades (para fazer contas com cm e kN): 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2 = 0{,}1\\ \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2. Então f_{yd} = 434{,}78\\ \mathrm{MPa} = 43{,}478\\ \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2.
  • Concreto de cálculo (para verificação com bloco retangular depois): f_{cd} = \frac{f_{ck}}{\gamma_c} = \frac{25}{1{,}4}\approx 17{,}857\\ \mathrm{MPa} = 1{,}7857\\ \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2.Em blocos retangulares costuma‑se usar um fator 0{,}85 sobre f_{cd} para a tensão média do bloco (vou usar isso na verificação).

Passo 3

Determinar a linha neutra (profundidade útil) usada no método simplificado: precisamos da profundidade útil d. Para isso precisamos assumir um diâmetro de barra para calcular d=h- cobrimento - meia bitola da barra. Vou testar duas opções práticas (barras correntes em vigas): \varnothing16\\ \mathrm{mm} e \varnothing18\\ \mathrm{mm}. Explico o porquê: sem mais dados, escolhemos bitolas comerciais e depois comparamos soluções (menos barras = montagem mais fácil).
  • Para \varnothing16\\ \mathrm{mm} ( =1{,}6\\ \mathrm{cm}): d = h - \mathrm{cob} - \frac{\varnothing}{2} = 40 - 3 - 0{,}8 = 36{,}2\\ \mathrm{cm}.
  • Para \varnothing18\\ \mathrm{mm} ( =1{,}8\\ \mathrm{cm}): d = 40 - 3 - 0{,}9 = 36{,}1\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Cálculo preliminar da área de armadura usando a fórmula prática (muito usada em prova):
A_s \approx \frac{M_d}{0{,}9\,d\,f_{yd}}.
Explicação da fórmula: do equilíbrio de momentos M_d = A_s f_{yd}\,z e usando aproximação z\approx0{,}9d obtemos a fórmula acima. As unidades estão coerentes porque M_d está em \mathrm{kN}\cdot\mathrm{cm}, d em \mathrm{cm} e f_{yd} em \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2; o resultado sai em \mathrm{cm}^2.
  • Caso \varnothing16\\ \mathrm{mm} ( d=36{,}2\\ \mathrm{cm}): A_s \approx \frac{9800}{0{,}9\cdot 36{,}2\cdot 43{,}478} = \frac{9800}{0{,}9\cdot 36{,}2\cdot 43{,}478}.Cálculo numérico: 0{,}9\cdot 36{,}2\cdot 43{,}478 \approx 1419{,}6
A_s \approx \frac{9800}{1419{,}6}\approx 6{,}90\\ \mathrm{cm}^2.
  • Caso \varnothing18\\ \mathrm{mm} ( d=36{,}1\\ \mathrm{cm}): 0{,}9\cdot 36{,}1\cdot 43{,}478 \approx 1416{,}5
A_s \approx \frac{9800}{1416{,}5}\approx 6{,}92\\ \mathrm{cm}^2.
Resultado: a área necessária pelo método simplificado é aproximadamente \,A_s\approx 6{,}9\\ \mathrm{cm}^2 (praticamente igual para as duas bitolas).

Passo 5

Escolha de barras e número de barras (área por barra e quantidade).
  • Área de uma barra circular: A_{\varphi} = \frac{\pi \varnothing^2}{4}.Em \mathrm{cm}^2:
    • \varnothing16\\ \mathrm{mm}=1{,}6\\ \mathrm{cm}: A_{16} = \frac{\pi\cdot(1{,}6)^2}{4}\approx 2{,}01\\ \mathrm{cm}^2.Número de barras necessário: n = \frac{6{,}90}{2{,}01}\approx 3{,}43\Rightarrow 4\\ \text{barras de }\varnothing16.Área fornecida por 4 barras: A_s = 4\cdot 2{,}01 = 8{,}04\\ \mathrm{cm}^2.
    • \varnothing18\\ \mathrm{mm}=1{,}8\\ \mathrm{cm}: A_{18} = \frac{\pi\cdot(1{,}8)^2}{4}\approx 2{,}55\\ \mathrm{cm}^2.Número de barras: n = \frac{6{,}92}{2{,}55}\approx 2{,}71\Rightarrow 3\\ \text{barras de }\varnothing18.Área fornecida por 3 barras: A_s = 3\cdot 2{,}55 = 7{,}65\\ \mathrm{cm}^2.
Comparação prática: 3 barras \varnothing18 fornecem 7{,}65\\ \mathrm{cm}^2 e 4 barras \varnothing16 fornecem 8{,}04\\ \mathrm{cm}^2. Ambas são maiores que a área requerida pelo método simplificado ( \sim 6{,}9\\ \mathrm{cm}^2).

Passo 6

Verificação final com equilíbrio de forças (bloco retangular) — para garantir que a aproximação z\approx0{,}9d não nos enganou e que a solução escolhida realmente resiste ao momento M_d.
Equilíbrio de forças (compressão do concreto = tração do aço):
A_s f_{yd} = 0{,}85\,f_{cd}\,b_w\,x
onde x é a profundidade do bloco de compressão (em cm). A posição do centro de compressão é a 0{,}4x desde a fibra comprimida, portanto o braço de alavanca real é
z = d - 0{,}4\,x.
Vou verificar a solução escolhida mais econômica (3 barras \varnothing18):
  • Dados para verificação: A_s = 7{,}65\\ \mathrm{cm}^2,\qquad f_{yd}=43{,}478\\ \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2,
0{,}85\,f_{cd} = 0{,}85\cdot 1{,}7857 \approx 1{,}5179\\ \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2,
b_w=15\\ \mathrm{cm},\qquad d=36{,}1\\ \mathrm{cm}.
  • Calcular x: x = \frac{A_s f_{yd}}{0{,}85\,f_{cd}\,b_w} = \frac{7{,}65\cdot 43{,}478}{1{,}5179\cdot 15}.Numérico: A_s f_{yd}\approx 7{,}65\cdot 43{,}478 \approx 332{,}31\\ \mathrm{kN}
1{,}5179\cdot 15 \approx 22{,}7685\\ \mathrm{kN}/\mathrm{cm}
x \approx \frac{332{,}31}{22{,}7685}\approx 14{,}59\\ \mathrm{cm}.
Relação x/d:
\frac{x}{d}=\frac{14{,}59}{36{,}1}\approx 0{,}404 \quad(\text{menor que }0{,}45),
que é aceitável para que a seção trabalhe em regime dúctil (estamos na faixa usual).
  • Braço de alavanca real: z = d - 0{,}4x = 36{,}1 - 0{,}4\cdot 14{,}59 \approx 36{,}1 - 5{,}84 = 30{,}26\\ \mathrm{cm}.
  • Momento resistente correspondente: M_{Rd} = A_s f_{yd}\, z \approx 332{,}31\\ \mathrm{kN}\cdot 30{,}26\\ \mathrm{cm} \approx 10061\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{cm}.Como M_{Rd}=10061\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{cm} > M_d=9800\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{cm}, a solução é segura (pequinha margem de segurança adicional).
  • Verificar armadura mínima (regra prática): A_{s,\min}=0{,}0013\,b_w\,d = 0{,}0013\cdot 15\cdot 36{,}1 \approx 0{,}705\\ \mathrm{cm}^2.Nossa A_s=7{,}65\\ \mathrm{cm}^2 é bem maior que o mínimo (ok).
  • Verificação prática de encaixe das barras na largura:
    largura disponível b_w=15\\ \mathrm{cm}. Três barras \varnothing18 ocupam em diâmetro 3\cdot 1{,}8 = 5{,}4\\ \mathrm{cm}. Mesmo com espaçamentos claros razoáveis entre barras (por exemplo \ge 2\\ \mathrm{cm} entre centros) cabe confortavelmente dentro dos 15\\ \mathrm{cm}. Em obra, garantir espaçamentos mínimos previstos em norma (ver NBR) e dobradiças de estribos; mas geometricamente é factível.

Passo 7

Conclusão prática e recomendação:
  • Duas opções válidas calculadas:
    • 4 barras \varnothing16 A_s = 8{,}04\\ \mathrm{cm}^2 (também segura).
    • 3 barras \varnothing18 A_s = 7{,}65\\ \mathrm{cm}^2 (menor número de barras, prática comum).
  • Recomendo adotar a solução mais econômica/prática: 3 barras \varnothing18. Confirmar detalhamento em projeto executivo (posicionamento, ancoragens, estribos e verificações locais).

Resposta

3 barras \varnothing18\\ \mathrm{mm} A_s=7{,}65\\ \mathrm{cm}^2

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