Considere uma vila isolada com uma população fixa de 1000 habitantes. Um surto de uma doença respiratória começa a se espalhar entre os moradores. O vírus responsável pela infecção apresenta as seguintes características:
- O tempo de transmissão da doença é de exatamente
dias: uma pessoa infectada continua transmitindo por 3 dias e depois se recupera, tornando-se imune e deixando de contaminar outras pessoas;
- A infecção ocorre por contato direto e o contágio é proporcional ao número de pessoas recém-infectadas nos últimos dias;
- A vila está completamente isolada: não há entrada nem saída de pessoas;
- Todos os indivíduos são inicialmente suscetíveis, exceto os infectados nos primeiros dias;
- O número de novos infectados em um dia depende da dinâmica observada nos dias anteriores.
Os dados observados durante os primeiros dias do surto são os seguintes:
- Dia 0:
(pessoas recém-infectadas)
- Dia 1:
- Dia 2:
- Dia 3:
- Dia 4:
- Dia 5:
Com base nas informações sobre o padrão de contágio e nos dados acima
(a) Determine uma equação de recorrência que descreva a evolução do número de novos infectados a partir do dia
, usando apenas os dados dos dias anteriores.
(b) Identifique os coeficientes da sua equação de recorrência e justifique sua escolha.
(c) Calcule o número estimado de novos infectados nos dias 6, 7 e 8 com base no modelo encontrado.
(d) Estime em qual dia o número de novos infectados atinge seu valor máximo, considerando que a população total da vila é de 1000 habitantes (isto é, pare quando a soma dos infectados ultrapassar esse número).
(e) Determine o número total de infectados ao fim do surto, assumindo que o mesmo se encerra quando não houver mais suscetíveis disponíveis para infecção.
(a) Determine uma equação de recorrência que descreva a evolução do número de novos infectados a partir do dia
(b) Identifique os coeficientes da sua equação de recorrência e justifique sua escolha.
(c) Calcule o número estimado de novos infectados nos dias 6, 7 e 8 com base no modelo encontrado.
(d) Estime em qual dia o número de novos infectados atinge seu valor máximo, considerando que a população total da vila é de 1000 habitantes (isto é, pare quando a soma dos infectados ultrapassar esse número).
(e) Determine o número total de infectados ao fim do surto, assumindo que o mesmo se encerra quando não houver mais suscetíveis disponíveis para infecção.
Passo 1
O enunciado descreve um surto numa vila de
habitantes em que cada pessoa infectada permanece transmissora por exatamente 3 dias e depois fica imune. Denotando por
o número de novos infectados no dia
, a geração de novos casos num dia depende de (1) quantos indivíduos ainda são suscetíveis e (2) do total de pessoas infectantes nos últimos 3 dias, que é
Além disso, só uma fração
dos contatos resulta em infecção, sendo
o número de suscetíveis restantes. O parâmetro de contágio diário por infectante chamamos de
.
Passo 2
Montamos então a equação de recorrência para
:
Isso incorpora tanto a contribuição dos infectantes nos últimos 3 dias quanto a fração de suscetíveis disponíveis.
Passo 3
Para estimar
, usamos os dados de
e calculamos
para
. Como ainda havia quase
suscetíveis nos primeiros dias, aproximamos
e então
Em média
.
Passo 4
Usando
e levando agora em conta a fração de suscetíveis, calculamos
Dia 6:
Dia 6:
Dia 7:
Dia 8:
Passo 5
Para achar o dia de pico de novos infectados, continuamos a recursão até que
comece a diminuir. Depois do dia 8 temos
Dia 9:
Dia 10:
Logo, o máximo de novos infectados ocorre em dia 8, com cerca de 225 casos novos.
Dia 9:
Dia 10:
Logo, o máximo de novos infectados ocorre em dia 8, com cerca de 225 casos novos.
Passo 6
Para estimar o total de infectados até o fim do surto, somamos todos os
até que não reste mais suscetível. Fazendo isso na mesma recursão, obtemos um total aproximado de 989 pessoas infectadas ao final (quando
cai a zero).
Resposta
(a)
.
(b) , pois nas observações iniciais
.
(c) ,
,
.
(d) Pico em dia 8.
(e) Total de infectados no fim do surto pessoas.
(b)
(c)
(d) Pico em dia 8.
(e) Total de infectados no fim do surto