Considere uma vila isolada com uma população fixa de 1000 habitantes. Um surto de uma doença respiratória começa a se espalhar entre os moradores. O vírus responsável pela infecção apresenta as seguintes características:
  • O tempo de transmissão da doença é de exatamente \mathbf{3} dias: uma pessoa infectada continua transmitindo por 3 dias e depois se recupera, tornando-se imune e deixando de contaminar outras pessoas;
  • A infecção ocorre por contato direto e o contágio é proporcional ao número de pessoas recém-infectadas nos últimos dias;
  • A vila está completamente isolada: não há entrada nem saída de pessoas;
  • Todos os indivíduos são inicialmente suscetíveis, exceto os infectados nos primeiros dias;
  • O número de novos infectados em um dia depende da dinâmica observada nos dias anteriores.
Os dados observados durante os primeiros dias do surto são os seguintes:
  • Dia 0: x_{0}=3 (pessoas recém-infectadas)
  • Dia 1: x_{1}=6
  • Dia 2: x_{2}=12
  • Dia 3: x_{3}=23
  • Dia 4: x_{4}=45
  • Dia 5: x_{5}=86
Com base nas informações sobre o padrão de contágio e nos dados acima
(a) Determine uma equação de recorrência que descreva a evolução do número de novos infectados a partir do dia n, usando apenas os dados dos dias anteriores.
(b) Identifique os coeficientes da sua equação de recorrência e justifique sua escolha.
(c) Calcule o número estimado de novos infectados nos dias 6, 7 e 8 com base no modelo encontrado.
(d) Estime em qual dia o número de novos infectados atinge seu valor máximo, considerando que a população total da vila é de 1000 habitantes (isto é, pare quando a soma dos infectados ultrapassar esse número).
(e) Determine o número total de infectados ao fim do surto, assumindo que o mesmo se encerra quando não houver mais suscetíveis disponíveis para infecção.

Passo 1

O enunciado descreve um surto numa vila de N=1000 habitantes em que cada pessoa infectada permanece transmissora por exatamente 3 dias e depois fica imune. Denotando por x_n o número de novos infectados no dia n, a geração de novos casos num dia depende de (1) quantos indivíduos ainda são suscetíveis e (2) do total de pessoas infectantes nos últimos 3 dias, que é
I_{n-1} \;=\; x_{n-1} + x_{n-2} + x_{n-3}.
Além disso, só uma fração \tfrac{S_{n-1}}{N} dos contatos resulta em infecção, sendo
S_{n-1} \;=\; N - \sum_{i=0}^{n-1} x_i
o número de suscetíveis restantes. O parâmetro de contágio diário por infectante chamamos de \beta.

Passo 2

Montamos então a equação de recorrência para n\ge3:
x_n \;=\;\beta \,\frac{S_{n-1}}{N}\,\bigl(x_{n-1}+x_{n-2}+x_{n-3}\bigr).
Isso incorpora tanto a contribuição dos infectantes nos últimos 3 dias quanto a fração de suscetíveis disponíveis.

Passo 3

Para estimar \beta, usamos os dados de x_3,x_4,x_5 e calculamos
\beta_n \;=\;\frac{x_n}{\displaystyle\frac{S_{n-1}}{N}\,(x_{n-1}+x_{n-2}+x_{n-3})}
para n=3,4,5. Como ainda havia quase N suscetíveis nos primeiros dias, aproximamos \tfrac{S_{n-1}}{N}\approx1 e então
\beta_3\approx\frac{23}{12+6+3}=1{,}095,\quad \beta_4\approx\frac{45}{23+12+6}=1{,}098,\quad \beta_5\approx\frac{86}{45+23+12}=1{,}075.
Em média \beta\approx1{,}09.

Passo 4

Usando \beta=1{,}09 e levando agora em conta a fração de suscetíveis, calculamos
Dia 6:
S_5 = 1000 - (3+6+12+23+45+86)=825,\quad I_5=86+45+23=154,
x_6 = 1{,}09\;\frac{825}{1000}\;154\approx138.
Dia 7:
S_6 = 825-138=687,\quad I_6=138+86+45=269,
x_7 = 1{,}09\;\frac{687}{1000}\;269\approx201.
Dia 8:
S_7 = 687-201=486,\quad I_7=201+138+86=425,
x_8 = 1{,}09\;\frac{486}{1000}\;425\approx225.

Passo 5

Para achar o dia de pico de novos infectados, continuamos a recursão até que x_n comece a diminuir. Depois do dia 8 temos
Dia 9: x_9\approx160
Dia 10: x_{10}\approx65
Logo, o máximo de novos infectados ocorre em dia 8, com cerca de 225 casos novos.

Passo 6

Para estimar o total de infectados até o fim do surto, somamos todos os x_n até que não reste mais suscetível. Fazendo isso na mesma recursão, obtemos um total aproximado de 989 pessoas infectadas ao final (quando S_n cai a zero).

Resposta

(a) \displaystyle x_n = \beta\,\frac{S_{n-1}}{1000}\,\bigl(x_{n-1}+x_{n-2}+x_{n-3}\bigr).
(b) \beta\approx1{,}09, pois nas observações iniciais \beta\approx x_n/(x_{n-1}+x_{n-2}+x_{n-3}).
(c) x_6\approx138, x_7\approx201, x_8\approx225.
(d) Pico em dia 8.
(e) Total de infectados no fim do surto \approx 989 pessoas.

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