Considere que você lança uma bola para cima, verticalmente, numa situação em que a resistência do ar seja proporcional ao quadrado do módulo da velocidade da bola,
. Sendo assim,
qual será a componente
da aceleração dessa bola quando ela tiver metade da velocidade terminal durante a descida?
qual será a componente
Passo 1
O enunciado pede: qual é a componente
da aceleração da bola quando ela está em queda (descendo) com velocidade igual à metade da velocidade terminal, assumindo resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade,
.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
- A resistência do ar tem módulo proporcional a
. Vou representar essa força de arrasto por e escrever , com constante de proporcionalidade. \n - A bola está em descida quando tem velocidade igual a metade da velocidade terminal, isto é
. \n - A aceleração gravitacional é
(direção para baixo) e a massa da bola é (não numérica; vamos manter simbólico). \n - A pergunta exige a componente vertical (componente
) da aceleração naquele instante.
Passo 2
Escolha de referência e forças: \n
- Vou tomar o eixo
com sentido positivo para cima. Isso é importante para os sinais. \n - As forças que atuam na bola são: o peso para baixo, de módulo
, e o arrasto, que tem sentido oposto ao da velocidade. Como a bola está descendo, sua velocidade é para baixo, logo o arrasto atua para cima, de módulo . \n - A segunda lei de Newton na direção
diz que a componente da resultante é massa vezes aceleração:
Passo 3
Definição de velocidade terminal e relação com
: \n
- A velocidade terminal
é a velocidade em que as forças se equilibram durante a queda (força resultante zero). Nesse caso, para a queda em regime terminal temos equilíbrio entre peso (para baixo) e arrasto (para cima): \n - Da igualdade acima podemos isolar
: \n
Explicação rápida: quando a bola atinge
a aceleração é zero, então as duas forças têm módulos iguais e sentidos opostos.
Passo 4
Calculando o arrasto quando
: \n
- Usamos a fórmula do arrasto com
: \n - Substituindo
obtemos: \n
Comentário: o arrasto vale um quarto do peso quando a velocidade é metade da velocidade terminal.
Passo 5
Escrevendo a resultante de forças na direção
e obtendo a aceleração: \n
- Tomando sinais com
para cima positivo, o peso contribui com e o arrasto com . Assim a força resultante é \n - Substituindo o valor de
obtemos \n - Pela segunda lei de Newton:
\n - Dividindo por
achamos a componente da aceleração:
Passo 6
Interpretação do resultado e dica para a prova: \n
- O sinal negativo indica que a aceleração está para baixo (faz sentido: a bola ainda está acelerando para baixo, pois a força peso excede o arrasto). \n
- Procedimento útil para provas: 1) escolher sentido positivo, 2) desenhar forças (peso e arrasto), 3) escrever
, 4) usar a definição de velocidade terminal para eliminar constantes desconhecidas, 5) avaliar na velocidade pedida e resolver para . Isso evita ter que conhecer explicitamente.