Considere que você lança uma bola para cima, verticalmente, numa situação em que a resistência do ar seja proporcional ao quadrado do módulo da velocidade da bola, v^{2}. Sendo assim,
qual será a componente y da aceleração dessa bola quando ela tiver metade da velocidade terminal durante a descida?

Passo 1

O enunciado pede: qual é a componente y da aceleração da bola quando ela está em queda (descendo) com velocidade igual à metade da velocidade terminal, assumindo resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade, v^{2}.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
  • A resistência do ar tem módulo proporcional a v^{2}. Vou representar essa força de arrasto por F_{d} e escrever F_{d}=k\,v^{2}, com k>0 constante de proporcionalidade. \n
  • A bola está em descida quando tem velocidade igual a metade da velocidade terminal, isto é v=\tfrac{1}{2}v_{t}. \n
  • A aceleração gravitacional é g (direção para baixo) e a massa da bola é m (não numérica; vamos manter simbólico). \n
  • A pergunta exige a componente vertical (componente y) da aceleração naquele instante.

Passo 2

Escolha de referência e forças: \n
  • Vou tomar o eixo y com sentido positivo para cima. Isso é importante para os sinais. \n
  • As forças que atuam na bola são: o peso para baixo, de módulo mg, e o arrasto, que tem sentido oposto ao da velocidade. Como a bola está descendo, sua velocidade é para baixo, logo o arrasto atua para cima, de módulo F_{d}=k\,v^{2}. \n
  • A segunda lei de Newton na direção y diz que a componente y da resultante é massa vezes aceleração: F_{\text{res},y}=m\,a_{y}.

Passo 3

Definição de velocidade terminal e relação com k: \n
  • A velocidade terminal v_{t} é a velocidade em que as forças se equilibram durante a queda (força resultante zero). Nesse caso, para a queda em regime terminal temos equilíbrio entre peso (para baixo) e arrasto (para cima): mg = k\,v_{t}^{2}. \n
  • Da igualdade acima podemos isolar k: k=\frac{mg}{v_{t}^{2}}. \n
Explicação rápida: quando a bola atinge v_{t} a aceleração é zero, então as duas forças têm módulos iguais e sentidos opostos.

Passo 4

Calculando o arrasto quando v=\tfrac{1}{2}v_{t}: \n
  • Usamos a fórmula do arrasto com v=\tfrac{1}{2}v_{t}: F_{d}=k\left(\tfrac{1}{2}v_{t}\right)^{2}=k\,\frac{v_{t}^{2}}{4}. \n
  • Substituindo k=\dfrac{mg}{v_{t}^{2}} obtemos: F_{d}=\frac{mg}{v_{t}^{2}}\cdot\frac{v_{t}^{2}}{4}=\frac{mg}{4}. \n
Comentário: o arrasto vale um quarto do peso quando a velocidade é metade da velocidade terminal.

Passo 5

Escrevendo a resultante de forças na direção y e obtendo a aceleração: \n
  • Tomando sinais com y para cima positivo, o peso contribui com -mg e o arrasto com +F_{d}. Assim a força resultante é F_{\text{res},y}=-mg+F_{d}. \n
  • Substituindo o valor de F_{d}=\dfrac{mg}{4} obtemos F_{\text{res},y}=-mg+\frac{mg}{4}=-\frac{3}{4}mg. \n
  • Pela segunda lei de Newton: m\,a_{y}=F_{\text{res},y}=-\frac{3}{4}mg. \n
  • Dividindo por m achamos a componente y da aceleração: a_{y}=-\frac{3}{4}g.

Passo 6

Interpretação do resultado e dica para a prova: \n
  • O sinal negativo indica que a aceleração está para baixo (faz sentido: a bola ainda está acelerando para baixo, pois a força peso excede o arrasto). \n
  • Procedimento útil para provas: 1) escolher sentido positivo, 2) desenhar forças (peso e arrasto), 3) escrever F_{\text{res}}=m a, 4) usar a definição de velocidade terminal para eliminar constantes desconhecidas, 5) avaliar na velocidade pedida e resolver para a. Isso evita ter que conhecer k explicitamente.

Resposta

a_{y}=-\frac{3}{4}\,g

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