Consideremos duas esferas condutoras de raios r_{1} e r_{2} cujos centros distam de uma distância d. Mostre que após o contato a densidade de carga é inversamente proporcional ao raio de curvatura da superfície condutora.
\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}=\frac{r_{2}}{r_{1}}

Passo 1

O enunciado dá duas esferas condutoras com raios r_{1} e r_{2} e centros separados por uma distância d. Pede para mostrar que, após contato, a densidade de carga superficial nas esferas satisfaz
\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}=\frac{r_{2}}{r_{1}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Raios: r_{1} e r_{2}.
  • Distância entre centros: d.
  • Objetivo: achar a razão entre as densidades de carga superficiais \sigma_{1} e \sigma_{2} depois que as esferas entram em contato.

Passo 2

Observação importante (hipótese utilizada): para obter uma relação simples e clássica entre as cargas das esferas usaremos o fato de que, quando as esferas são colocadas em contato por um fio fino ou tocando-se e depois separadas, elas passam a ter o mesmo potencial elétrico. Além disso, para simplificar o cálculo usamos o modelo em que cada esfera, visto à distância suficiente, se comporta como uma esfera isolada (ou seja, desprezamos efeitos complicados de indução mútua), o que é válido quando a influência mútua é pequena (por exemplo, d muito maior que os raios) ou quando tratamos por capacitâncias individuais. Essa hipótese permite usar a capacitância de uma esfera isolada.

Passo 3

Lembra do conceito de capacitância: a capacitância C de um condutor é definida por
C=\frac{Q}{V},
onde Q é a carga do condutor e V é o potencial elétrico desse condutor (em relação ao infinito). Para uma esfera isolada de raio r, o potencial na superfície (e em todo o seu interior condutor) devido à sua própria carga Q é dado por
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r}.
Aqui \varepsilon_{0} é a permissividade elétrica do vácuo. A partir disso obtemos a capacitância da esfera:
C=\frac{Q}{V}=4\pi\varepsilon_{0}\,r.
Explicando as variáveis: Q é a carga total na esfera, V é o potencial dessa esfera, e r é o seu raio.

Passo 4

Quando as duas esferas são postas em contato (ligadas por fio fino), elas ficam ao mesmo potencial V. Usando Q=C\,V para cada esfera, temos
Q_{1}=C_{1}V,\qquad Q_{2}=C_{2}V,
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\frac{Q_{1}}{Q_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}.
Substituindo as capacitâncias das esferas isoladas C_{i}=4\pi\varepsilon_{0}r_{i}, obtemos
\frac{Q_{1}}{Q_{2}}=\frac{4\pi\varepsilon_{0}r_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}.
Portanto as cargas totais ficam proporcionais aos raios: Q_{1}:Q_{2}=r_{1}:r_{2}.

Passo 5

Agora escrevemos a densidade de carga superficial de cada esfera. A área da superfície de uma esfera de raio r é 4\pi r^{2}, então
\sigma_{1}=\frac{Q_{1}}{4\pi r_{1}^{2}},\qquad \sigma_{2}=\frac{Q_{2}}{4\pi r_{2}^{2}}.
Tomando a razão \sigma_{1}/\sigma_{2} e substituindo a razão Q_{1}/Q_{2}=r_{1}/r_{2}, obtemos:
\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}=\frac{Q_{1}/(4\pi r_{1}^{2})}{Q_{2}/(4\pi r_{2}^{2})}=\frac{Q_{1}}{Q_{2}}\cdot\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\cdot\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}=\frac{r_{2}}{r_{1}}.
Fizemos as simplificações passo a passo: primeiro cancelou 4\pi, depois substituímos Q_{1}/Q_{2} e reduzimos os fatores de r.

Passo 6

Interpretação física curta: a densidade de carga superficial é maior na superfície mais curvada (menor raio). Isso significa que cargas “se aglomeram” mais em regiões de maior curvatura, e a relação obtida mostra exatamente essa dependência inversa com o raio de curvatura.

Resposta

\displaystyle \frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}=\frac{r_{2}}{r_{1}}

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