Consideremos duas esferas condutoras de raios
e
cujos centros distam de uma distância d. Mostre que após o contato a densidade de carga é inversamente proporcional ao raio de curvatura da superfície condutora.
Passo 1
O enunciado dá duas esferas condutoras com raios
e
e centros separados por uma distância
. Pede para mostrar que, após contato, a densidade de carga superficial nas esferas satisfaz
Informações relevantes fornecidas:
- Raios:
e . - Distância entre centros:
. - Objetivo: achar a razão entre as densidades de carga superficiais
e depois que as esferas entram em contato.
Passo 2
Observação importante (hipótese utilizada): para obter uma relação simples e clássica entre as cargas das esferas usaremos o fato de que, quando as esferas são colocadas em contato por um fio fino ou tocando-se e depois separadas, elas passam a ter o mesmo potencial elétrico. Além disso, para simplificar o cálculo usamos o modelo em que cada esfera, visto à distância suficiente, se comporta como uma esfera isolada (ou seja, desprezamos efeitos complicados de indução mútua), o que é válido quando a influência mútua é pequena (por exemplo,
muito maior que os raios) ou quando tratamos por capacitâncias individuais. Essa hipótese permite usar a capacitância de uma esfera isolada.
Passo 3
Lembra do conceito de capacitância: a capacitância
de um condutor é definida por
onde
é a carga do condutor e
é o potencial elétrico desse condutor (em relação ao infinito). Para uma esfera isolada de raio
, o potencial na superfície (e em todo o seu interior condutor) devido à sua própria carga
é dado por
Aqui
é a permissividade elétrica do vácuo. A partir disso obtemos a capacitância da esfera:
Explicando as variáveis:
é a carga total na esfera,
é o potencial dessa esfera, e
é o seu raio.
Passo 4
Quando as duas esferas são postas em contato (ligadas por fio fino), elas ficam ao mesmo potencial
. Usando
para cada esfera, temos
logo
Substituindo as capacitâncias das esferas isoladas
, obtemos
Portanto as cargas totais ficam proporcionais aos raios:
.
Passo 5
Agora escrevemos a densidade de carga superficial de cada esfera. A área da superfície de uma esfera de raio
é
, então
Tomando a razão
e substituindo a razão
, obtemos:
Fizemos as simplificações passo a passo: primeiro cancelou
, depois substituímos
e reduzimos os fatores de
.
Passo 6
Interpretação física curta: a densidade de carga superficial é maior na superfície mais curvada (menor raio). Isso significa que cargas “se aglomeram” mais em regiões de maior curvatura, e a relação obtida mostra exatamente essa dependência inversa com o raio de curvatura.