Duas esferas iguais estão suspensas a partir do mesmo ponto por fios de comprimento l=2 \mathrm{~m}. Ambas as esferas possuem a mesma carga elétrica de q=2 \times 10^{-8} \mathrm{C} e estão afastadas entre si a uma distância de 16 cm . Calcule a tensão criada em cada um dos fios.

Passo 1

O enunciado dá duas esferas idênticas, cada uma presa por um fio de comprimento l=2\\ \mathrm{m}, ambas com carga elétrica q=2\times10^{-8}\\ \mathrm{C}. A distância entre as esferas (entre os centros, assumimos) é d=16\\ \mathrm{cm}=0{,}16\\ \mathrm{m}. Pede-se a tensão em cada fio (força no fio) quando o sistema está em equilíbrio estático.
Informações relevantes listadas:
l=2\\ \mathrm{m},\qquad q=2\times10^{-8}\\ \mathrm{C},\qquad d=0{,}16\\ \mathrm{m}.
O que precisamos encontrar: a tensão T em cada fio (em newtons).

Passo 2

Determinar a geometria (ângulo que o fio faz com a vertical). As esferas ficam simetricamente afastadas do eixo vertical, então a separação horizontal entre elas é dada por
d = 2l\sin\theta,
onde \theta é o ângulo que cada fio faz com a vertical. Isolando \sin\theta:
\sin\theta = \frac{d}{2l} = \frac{0{,}16}{2\cdot 2} = 0{,}04.
Portanto \sin\theta=0{,}04. O ângulo é pequeno; numericamente
\theta=\arcsin(0{,}04)\approx 0{,}04001\\ \text{rad}\approx 2{,}29^\circ.
(Observação: posso trabalhar com \sin\theta=0{,}04 diretamente, que é exata a partir dos dados.)

Passo 3

Calcular a força eletrostática de repulsão entre as cargas (Lei de Coulomb). A fórmula é
F=\frac{kq^2}{d^2},
onde k é a constante eletrostática (aproximamos k=9\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}). Substituindo:
F=\frac{9\times10^{9}\cdot (2\times10^{-8})^2}{(0{,}16)^2} =\frac{9\times10^{9}\cdot 4\times10^{-16}}{0{,}0256} =\frac{3{,}6\times10^{-6}}{0{,}0256} =1{,}40625\times10^{-4}\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Escrever as equações de equilíbrio (diagrama de forças numa esfera). As forças atuantes na esfera são:
  • o peso mg para baixo;
  • a tensão T ao longo do fio, fazendo ângulo \theta com a vertical;
  • a força eletrostática F horizontal, afastando a esfera da outra.
Decompondo T em componentes vertical e horizontal e impondo equilíbrio (somatório das forças = 0):
componente vertical:
T\cos\theta = mg,
componente horizontal:
T\sin\theta = F.
Aqui g é a aceleração da gravidade ( g\approx9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}) e m é a massa de cada esfera. Note que, dado que a separação d foi especificada, \theta e F já estão determinados; isso impõe uma relação entre m e os demais parâmetros (isto é, a massa não é livre se a geometria é fixa).

Passo 5

Isolar T. A partir da equação horizontal:
T = \frac{F}{\sin\theta}.
Esta forma é prática porque já conhecemos F e \sin\theta. Substituindo os valores numéricos:
T=\frac{1{,}40625\times10^{-4}}{0{,}04}=3{,}515625\times10^{-3}\\ \mathrm{N}.
Arredondando com três algarismos significativos:
T\approx 3{,}52\times10^{-3}\\ \mathrm{N}.
(Verificação alternativa: a partir das duas equações de equilíbrio pode-se obter também
T=\sqrt{(mg)^2+F^2},
e usando mg=F\cot\theta obtém-se o mesmo valor de T.)

Resposta

\,T=3{,}52\times10^{-3}\\ \mathrm{N}

Exercícios relacionados