Consideremos a elipse de equação paramétrica x = a cos t e y = b sen(t), onde 0 <= t <= 2 pi. Usando a fórmula no item b, mostre que a área dessa elipse é pi a b.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área de uma elipse definida pelas equações paramétricas e , onde . Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente a fórmula para calcular áreas de curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da fórmula para calcular a área de uma curva paramétrica e no intervalo a :
Isso significa que vamos multiplicar pela derivada de em relação a e integrar isso de a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a :
Agora, substituímos e na fórmula da área:
Simplificando, temos:

Passo 4

Sabemos que pode ser escrita usando a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Portanto:
Como a área não pode ser negativa, removemos o sinal negativo:

Resposta

A área da elipse é .

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