Consideremos a elipse de equação paramétrica
e
, onde
. Usando a fórmula no item
, mostre que a área dessa elipse é
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área de uma elipse definida pelas equações paramétricas
e
, onde
. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente a fórmula para calcular áreas de curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da fórmula para calcular a área
de uma curva paramétrica
e
no intervalo
a
:
Isso significa que vamos multiplicar
pela derivada de
em relação a
e integrar isso de
a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Agora, substituímos
e
na fórmula da área:
Simplificando, temos:
Passo 4
Sabemos que
pode ser escrita usando a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Portanto:
Como a área não pode ser negativa, removemos o sinal negativo:
Resposta
A área da elipse é
.