Seja
a função, de domínio
, definida por
, e
a função, de domínio
, definida por
. Mostre, que
, tal que
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções definidas para números reais positivos:
O objetivo é mostrar que existe um número
no intervalo entre 1 e 3, ou seja,
, tal que
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a função
. Ela é definida como
. A função logarítmica
está bem definida para
e é contínua nesse domínio. Portanto,
também é contínua para
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Como
é contínua e
é uma função linear (também contínua), a soma delas, ou seja,
, também é uma função contínua para
.
Passo 4
Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, precisamos calcular os valores de
nos pontos extremos do intervalo, ou seja, em
e
:
-
Em
: -
Em
:
Passo 5
Como
é contínua no intervalo
e
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário, para qualquer valor entre 3 e 6, existe algum
em
tal que
assume esse valor. Especificamente, para
, que está entre 3 e 6, existe sim um número
nesse intervalo que satisfaz a condição.
Resposta
Existe um valor
no intervalo
tal que
.