A constante de tempo de um oscilador (algumas vezes também chamada de tempo de relaxaçāo) é o tempo \tau necessário para que a amplitude da oscilação se reduza a 1 / c da amplitude inicial. Determine a constante de tempo de um oscilador harmônico amortecido: (a) em função de b e de m; (b) em função do fator de qualidade Q.

Passo 1

O enunciado pede o tempo \tau tal que a amplitude de um oscilador harmônico amortecido caia para 1/c da amplitude inicial. O conteúdo que vamos usar é a solução do oscilador amortecido, cujo envelope de amplitude decai exponencialmente, e a definição do fator de qualidade Q.

Passo 2

A equação do oscilador amortecido (massa m, coeficiente de amortecimento b) leva a uma amplitude do tipo
A(t)=A_0\,e^{-\gamma t},
onde \gamma é a taxa de decaimento dada por
\gamma=\frac{b}{2m}.
Para achar \tau, impomos
A(\tau)=\frac{A_0}{c} \quad\Longrightarrow\quad A_0\,e^{-\gamma\tau}=\frac{A_0}{c}.

Passo 3

Cancelando A_0 e tomando logaritmo,
e^{-\gamma\tau}=\frac{1}{c} \quad\Longrightarrow\quad -\gamma\tau=-\ln c \quad\Longrightarrow\quad \tau=\frac{1}{\gamma}\,\ln c.
Substituindo \gamma=\tfrac{b}{2m}, obtemos
\tau=\frac{2m}{b}\,\ln c.

Passo 4

O fator de qualidade do oscilador é definido por
Q=\frac{m\omega_0}{b},
onde \omega_0 é a frequência natural não amortecida. Reescrevendo \gamma em função de Q:
\gamma=\frac{b}{2m} =\frac{\omega_0}{2Q}.
Logo
\tau=\frac{1}{\gamma}\,\ln c =\frac{2Q}{\omega_0}\,\ln c.

Resposta

(a) \displaystyle \tau=\frac{2m}{b}\,\ln c.
(b) \displaystyle \tau=\frac{2Q}{\omega_0}\,\ln c.

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