Determine a freqüência angular \omega_{1} do movimento harmônico amortecido em função da freqüência angular \omega_{0} do movimento harmônico simples de um sistema massa-mola com força de atrito porém não submetido a nenhuma outra força externa.

Passo 1

Temos um sistema massa-mola com amortecimento viscoso (força de atrito proporcional à velocidade) e sem força externa. O enunciado pede a frequência angular \omega_{1} do regime subamortecido em função da frequência natural do sistema sem atrito, que é
\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}.
Vamos modelar a equação de movimento e extrair \omega_{1}.

Passo 2

A equação de movimento do sistema é
m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0,
onde b é o coeficiente de atrito viscoso. Dividindo tudo por m e definindo
\gamma = \frac{b}{2m}, \qquad \omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}},
a equação torna-se
\ddot{x} + 2\gamma\,\dot{x} + \omega_{0}^{2}\,x = 0.

Passo 3

A equação característica é
r^{2} + 2\gamma\,r + \omega_{0}^{2} = 0,
cujas raízes são
r = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^{2} - \omega_{0}^{2}}.
No caso subamortecido temos \gamma < \omega_{0}$, então as raízes são complexas e a parte imaginária, que dá a frequência de oscilação amortecida, é \[\omega_{1} \;=\;\sqrt{\omega_{0}^{2} - \gamma^{2}}.\]

Resposta

\omega_{1} \;=\;\sqrt{\omega_{0}^{2} \;-\;\Bigl(\frac{b}{2m}\Bigr)^{2}} \quad\Longleftrightarrow\quad \omega_{1} = \omega_{0}\,\sqrt{1 - \zeta^{2}},
onde \displaystyle \zeta=\frac{b}{2m\,\omega_{0}} é o coeficiente de amortecimento adimensional.

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