Construa o conceito de densidade superficial de massa. Em seguida, use somas de Riemann para definir a massa total de uma região plana usando integrais duplas.

Passo 1

O enunciado pede que a gente construa o conceito de densidade superficial de massa em uma lâmina (região plana) e, a partir de somas de Riemann, defina a massa total dessa lâmina usando integrais duplas. O conteúdo envolve:
– Definição de função densidade de massa por unidade de área;
– Partição de regiões planas em sub‐áreas;
– Somas de Riemann e passagem ao limite para obter uma integral dupla.

Passo 2

Imagine uma lâmina fina ocupando uma região R\subset\mathbb{R}^2. A densidade superficial de massa é uma função \sigma\colon R\to\mathbb{R}_{\ge0}
que, em cada ponto (x,y), diz “quanta massa há por unidade de área” em torno desse ponto. Logo, \sigma(x,y) tem unidade, por exemplo, de quilogramas por metro quadrado.

Passo 3

Para aproximar a massa total de R, fazemos uma partição em n sub-regiões R_1,\dots,R_n, cada uma com área aproximada \Delta A_i. Em cada R_i escolhemos um ponto qualquer (x_i,y_i).

Passo 4

Em cada sub-região R_i, como \sigma varia pouco quando as regiões são pequenas, aproximamos a massa \Delta m_i de R_i por
\Delta m_i \approx \sigma(x_i,y_i)\,\Delta A_i.

Passo 5

Somando sobre todas as sub-regiões, a massa total aproximada é
m \approx \sum_{i=1}^{n} \sigma(x_i,y_i)\,\Delta A_i.

Passo 6

Agora deixamos a partição cada vez mais fina, isto é, fazemos o diâmetro máximo das \Delta A_i tender a zero. No limite das somas de Riemann, obtemos a massa exata como integral dupla:
m = \lim_{\max\Delta A_i\to0} \sum_{i=1}^{n}\sigma(x_i,y_i)\,\Delta A_i.

Passo 7

Esse limite é exatamente a definição da integral dupla sobre R. Portanto, podemos escrever de forma compacta:
m = \iint_{R} \sigma(x,y)\,dA,
onde em coordenadas cartesianas dA = dx\,dy (ou em coordenadas polares dA=r\,dr\,d\theta, se for conveniente).

Resposta

A densidade superficial de massa é a função \sigma(x,y) que fornece massa por unidade de área em cada ponto de R. Particionando R em pequenas áreas \Delta A_i e usando somas de Riemann, define-se a massa total como
m = \iint_{R} \sigma(x,y)\,dA.

Exercícios relacionados