Construa o conceito de densidade superficial de massa. Em seguida, use somas de Riemann para definir a massa total de uma região plana usando integrais duplas.
Passo 1
O enunciado pede que a gente construa o conceito de densidade superficial de massa em uma lâmina (região plana) e, a partir de somas de Riemann, defina a massa total dessa lâmina usando integrais duplas. O conteúdo envolve:
– Definição de função densidade de massa por unidade de área;
– Partição de regiões planas em sub‐áreas;
– Somas de Riemann e passagem ao limite para obter uma integral dupla.
– Definição de função densidade de massa por unidade de área;
– Partição de regiões planas em sub‐áreas;
– Somas de Riemann e passagem ao limite para obter uma integral dupla.
Passo 2
Imagine uma lâmina fina ocupando uma região
. A densidade superficial de massa é uma função
que, em cada ponto , diz “quanta massa há por unidade de área” em torno desse ponto. Logo,
tem unidade, por exemplo, de quilogramas por metro quadrado.
que, em cada ponto
Passo 3
Para aproximar a massa total de
, fazemos uma partição em
sub-regiões
, cada uma com área aproximada
. Em cada
escolhemos um ponto qualquer
.
Passo 4
Em cada sub-região
, como
varia pouco quando as regiões são pequenas, aproximamos a massa
de
por
Passo 5
Somando sobre todas as sub-regiões, a massa total aproximada é
Passo 6
Agora deixamos a partição cada vez mais fina, isto é, fazemos o diâmetro máximo das
tender a zero. No limite das somas de Riemann, obtemos a massa exata como integral dupla:
Passo 7
Esse limite é exatamente a definição da integral dupla sobre
. Portanto, podemos escrever de forma compacta:
onde em coordenadas cartesianas
(ou em coordenadas polares
, se for conveniente).
Resposta
A densidade superficial de massa é a função
que fornece massa por unidade de área em cada ponto de
. Particionando
em pequenas áreas
e usando somas de Riemann, define-se a massa total como