Mostre que se uma função contínua é tem integral dupla nula sobre qualquer conjunto compacto do plano, então a função em questão é identicamente nula.

Passo 1

O enunciado afirma que f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é contínua e que, para todo conjunto compacto K\subset\mathbb{R}^2,
\iint_{K} f(x,y)\,dA = 0.
Queremos mostrar que isso implica f(x,y)=0 para todo (x,y).

Passo 2

Suponha, buscando contradição, que exista um ponto (x_0,y_0) tal que
f(x_0,y_0) = a \neq 0.
Como f é contínua, existe \delta>0 tal que, sempre que \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta,
tenhamos
\bigl|f(x,y) - a\bigr| < \frac{|a|}{2}.
Logo, em todo o disco fechado
D = \bigl\{(x,y)\mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}\le \delta\bigr\},
valem simultaneamente
|f(x,y)| > \frac{|a|}{2} \quad\text{e}\quad \operatorname{sign}\bigl(f(x,y)\bigr) = \operatorname{sign}(a).

Passo 3

O disco D é compacto, logo pela hipótese \displaystyle \iint_{D}f(x,y)\,dA = 0. Por outro lado, como f tem sinal constante em D e |f(x,y)|>\tfrac{|a|}{2}, segue-se que
\Bigl|\iint_{D} f(x,y)\,dA\Bigr| \;\ge\; \iint_{D} |f(x,y)|\,dA \;>\; \iint_{D} \frac{|a|}{2}\,dA \;=\; \frac{|a|}{2}\,\mathrm{Area}(D) \;>\;0.
Isso contradiz o fato de \iint_{D}f=0.

Passo 4

A contradição mostra que não pode existir ponto com f(x_0,y_0)\neq0. Como (x_0,y_0) era arbitrário, concluímos que
f(x,y)=0 \quad\text{para todo }(x,y)\in\mathbb{R}^2.

Resposta

A função f é identicamente nula:
f(x,y)=0 \quad\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2.

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