Mostre que se uma função contínua é tem integral dupla nula sobre qualquer conjunto compacto do plano, então a função em questão é identicamente nula.
Passo 1
O enunciado afirma que
é contínua e que, para todo conjunto compacto
,
Queremos mostrar que isso implica
para todo
.
Passo 2
Suponha, buscando contradição, que exista um ponto
tal que
Como
é contínua, existe
tal que, sempre que
tenhamos
tenhamos
Logo, em todo o disco fechado
valem simultaneamente
Passo 3
O disco
é compacto, logo pela hipótese
. Por outro lado, como
tem sinal constante em
e
, segue-se que
Isso contradiz o fato de
.
Passo 4
A contradição mostra que não pode existir ponto com
. Como
era arbitrário, concluímos que
Resposta
A função
é identicamente nula: