Construa o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções:
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente construir o gráfico da função 
  e analisar se ela é contínua. A função é uma função por partes, ou seja, ela muda de regra dependendo do valor de 
 . Vamos precisar entender como desenhar gráficos de funções por partes e revisar o conceito de continuidade para ver onde a função pode ter interrupções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada parte da função. A função 
  está definida de duas maneiras diferentes:
- Para 
, . Isso significa que, para todos os valores de que são menores ou iguais a zero, o valor de é sempre zero.  - Para 
, . Aqui, para todos os valores de maiores que zero, é igual a mesmo.  
Passo 3
Vamos desenhar o gráfico dessas duas partes. Para 
 , como 
 , isso é uma reta horizontal no eixo 
  onde 
 . Já para 
 , 
  é uma reta que passa pela origem com inclinação 1.
Passo 4
Agora, vamos juntar essas duas partes no mesmo gráfico. No ponto 
 , a primeira parte da função nos dá 
 . A segunda parte da função também, quando 
  se aproxima de 0 a partir da direita (
 ), dá 
 . Então, o gráfico será uma reta horizontal à esquerda de zero e uma reta diagonal à direita de zero que começa exatamente onde a reta horizontal termina.
Passo 5
Vamos analisar a continuidade da função. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando 
  se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite quando 
  se aproxima pela direita, e ambos são iguais ao valor da função nesse ponto.
Passo 6
Vamos verificar a continuidade em 
 :
- O limite pela esquerda (
) de é 0, porque para .  - O limite pela direita (
) de é também 0, já que e quando se aproxima de 0, tende a 0.  - O valor de 
é 0.  
Como todos esses valores são iguais, a função é contínua em 
 .
Passo 7
Além de 
 , como a função é uma reta horizontal para 
  e uma reta linear para 
 , que são ambas funções contínuas, não há outros pontos de descontinuidade.
Resposta
A função 
  é contínua em todo o seu domínio. O gráfico consiste em uma reta horizontal para 
  e uma reta diagonal 
  para 
 , unidas de forma contínua no ponto 
 .