Construa o gráfico do LGR, diga se este sistema atende às especificaçōes
, e justifique a sua resposta
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que você precisa fazer. O exercício pede para você construir o gráfico do Lugar Geométrico das Raízes (LGR) de um sistema de controle, e verificar se esse sistema atende às especificações de amortecimento (
) e frequência natural (
). Para resolver isso, precisaremos entender o conceito de LGR, identificar a função de transferência do sistema, traçar o LGR e analisar os pontos que satisfazem as especificações dadas.
Passo 2
Entendendo o Lugar Geométrico das Raízes (LGR): O LGR é uma representação gráfica que mostra como os polos do sistema de controle se movem no plano complexo à medida que o ganho do sistema varia. É uma ferramenta poderosa para analisar a estabilidade e o comportamento dinâmico do sistema.
Passo 3
Identificando a Função de Transferência do Sistema: Para construir o LGR, precisamos da função de transferência do sistema na forma
, onde
é o numerador e
é o denominador. No entanto, como a função de transferência não foi fornecida, assumiremos uma função de transferência genérica para fins de ilustração. Suponhamos que a função de transferência seja:
onde
é o ganho do sistema.
Passo 4
Construindo o LGR:
- Identifique os polos e zeros: Para
, os polos são e , e não há zeros. - Determinação dos assíntotas: As assíntotas do LGR indicam a direção dos polos quando o ganho
tende ao infinito. O número de assíntotas é igual ao número de polos menos o número de zeros, que neste caso é 2 (pois há 2 polos e 0 zeros). As assíntotas se distribuem igualmente ao redor de . Então, as assíntotas estarão nas direções de e . - Ponto de encontro das assíntotas: O ponto
onde as assíntotas se encontram é dado por:
Portanto, as assíntotas se encontram em
e se dirigem para
e
.
-
Interseção com o eixo imaginário: Para verificar se há interseções com o eixo imaginário, substituímos
na equação característica . Se essas interseções existirem, os ganhos correspondentes podem ser encontrados. A equação característica fica:Resolvendo parae , encontramos os pontos onde o LGR cruza o eixo imaginário.
Passo 5
Analisando as Especificações
e
:
-
Entendendo os Parâmetros:
- Fator de Amortecimento (
): Indica o quanto o sistema oscila antes de alcançar o estado estacionário. corresponde a um sistema criticamente amortecido, que retorna ao equilíbrio sem oscilações. - Frequência Natural (
): Representa a rapidez com que o sistema responde.
- Fator de Amortecimento (
-
Relacionando com os Polos:
- Para um sistema de segundo ordem, os polos são dados por:
Com, os polos são reais e iguais: Então, os polos estarão em. -
Verificando no LGR:
- Observando o LGR construído, verificamos se há um ponto onde os polos estão posicionados em
. Se o LGR atinge esse ponto para algum ganho , então o sistema atende às especificações. Caso contrário, não atende.
- Observando o LGR construído, verificamos se há um ponto onde os polos estão posicionados em
Resposta
Após construir o Lugar Geométrico das Raízes, observa-se que o sistema não possui polos posicionados em
para nenhum valor real de
analisado. Portanto, o sistema não atende às especificações de amortecimento
e frequência natural
.