Construa o gráfico do LGR, diga se este sistema atende às especificaçōes zeta=1 e omegan=400 rad / s, e justifique a sua resposta

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que você precisa fazer. O exercício pede para você construir o gráfico do Lugar Geométrico das Raízes (LGR) de um sistema de controle, e verificar se esse sistema atende às especificações de amortecimento ( ) e frequência natural ( ). Para resolver isso, precisaremos entender o conceito de LGR, identificar a função de transferência do sistema, traçar o LGR e analisar os pontos que satisfazem as especificações dadas.

Passo 2

Entendendo o Lugar Geométrico das Raízes (LGR): O LGR é uma representação gráfica que mostra como os polos do sistema de controle se movem no plano complexo à medida que o ganho do sistema varia. É uma ferramenta poderosa para analisar a estabilidade e o comportamento dinâmico do sistema.

Passo 3

Identificando a Função de Transferência do Sistema: Para construir o LGR, precisamos da função de transferência do sistema na forma G(s) = Ks(s + 100) , onde é o numerador e é o denominador. No entanto, como a função de transferência não foi fornecida, assumiremos uma função de transferência genérica para fins de ilustração. Suponhamos que a função de transferência seja:
onde é o ganho do sistema.

Passo 4

Construindo o LGR:
  1. Identifique os polos e zeros: Para sigma = sum polos - sum zerosnúmero de assíntotas = 0 + (-100) - 02 = -50 , os polos são 1 + Kjomega (jomega + 100) = 0 e , e não há zeros.
  2. Determinação dos assíntotas: As assíntotas do LGR indicam a direção dos polos quando o ganho tende ao infinito. O número de assíntotas é igual ao número de polos menos o número de zeros, que neste caso é 2 (pois há 2 polos e 0 zeros). As assíntotas se distribuem igualmente ao redor de . Então, as assíntotas estarão nas direções de e .
  3. Ponto de encontro das assíntotas: O ponto onde as assíntotas se encontram é dado por:
úí
Portanto, as assíntotas se encontram em e se dirigem para e .
  1. Interseção com o eixo imaginário: Para verificar se há interseções com o eixo imaginário, substituímos na equação característica . Se essas interseções existirem, os ganhos correspondentes podem ser encontrados.
    A equação característica fica:
    Resolvendo para e , encontramos os pontos onde o LGR cruza o eixo imaginário.

Passo 5

Analisando as Especificações s = -zeta omegan pm omegan raizzeta^2 - 1 e s = -omegan :
  1. Entendendo os Parâmetros:
    • Fator de Amortecimento ( ): Indica o quanto o sistema oscila antes de alcançar o estado estacionário. corresponde a um sistema criticamente amortecido, que retorna ao equilíbrio sem oscilações.
    • Frequência Natural ( ): Representa a rapidez com que o sistema responde.
  2. Relacionando com os Polos:
    • Para um sistema de segundo ordem, os polos são dados por:
    Com , os polos são reais e iguais:
    Então, os polos estarão em .
  3. Verificando no LGR:
    • Observando o LGR construído, verificamos se há um ponto onde os polos estão posicionados em . Se o LGR atinge esse ponto para algum ganho , então o sistema atende às especificações. Caso contrário, não atende.

Resposta

Após construir o Lugar Geométrico das Raízes, observa-se que o sistema não possui polos posicionados em para nenhum valor real de analisado. Portanto, o sistema não atende às especificações de amortecimento e frequência natural .

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