Traçar os lugares das raízes para o sistema de controle a malha fechada:
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O exercício pede para traçarmos o lugar das raízes para um sistema de controle em malha fechada com a função de transferência aberta dada por:
Isso está dentro do conteúdo de Controle de Sistemas e mais especificamente sobre o Método do Lugar das Raízes (Root Locus). Para resolver isso, vamos precisar entender como o aumento do ganho
afeta as posições dos polos do sistema em malha fechada no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os polos e zeros da função de transferência aberta
.
A função
é:
Aqui, não há zeros (os zeros são os valores de
que fazem
, e como o numerador é constante, não há zeros finitos).
Os polos são os valores de
que fazem o denominador igual a zero:
-
-
-
→ resolvendo essa equação quadrática:
Então, os polos são
,
, e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o número de ramos do lugar das raízes, que é igual ao número de polos menos o número de zeros. Como temos 4 polos e 0 zeros, teremos 4 ramos no lugar das raízes.
Em seguida, vamos encontrar os assíntotas. As assíntotas indicam para onde os ramos irão quando
tende ao infinito. A fórmula para o número de assíntotas é dada por:
Entretanto, a fórmula correta para determinar o número de assíntotas é:
Número de Assíntotas = P - Z = 4 - 0 = 4
O ângulo das assíntotas é calculado por:
Então, para
:
As assíntotas se cruzam no ponto médio das assíntotas, que é dado por:
Portanto, as assíntotas cruzam o eixo real em
.
Passo 4
Vamos agora identificar os interceptos do eixo real, ou seja, onde o lugar das raízes está no eixo real. O lugar das raízes no eixo real existe nas regiões onde o número de polos e zeros à direita de um ponto no eixo é ímpar.
Analisando o nosso sistema:
- Entre
e : 4 polos à direita → lugar não existe. - Entre
e : 3 polos à direita → lugar existe. - Entre
e : 2 polos à direita → lugar não existe. - Entre
e : 1 polo à direita → lugar existe.
Portanto, o lugar das raízes estará no eixo real entre
e
, e à direita de
.
Passo 5
Vamos encontrar os pontos de quebra ou breakaway points, onde dois ramos do lugar das raízes se encontram e se separam. Para isso, derivamos a equação do lugar das raízes e resolvemos onde a derivada é zero.
A condição para breakaway é:
Começamos com a equação characteristic para malha fechada:
Resolvendo para
:
Derivando em relação a
:
Simplificando e resolvendo essa equação, encontramos os
onde ocorre a breakaway. Esse processo envolve álgebra mais complexa, mas essencialmente identifica os pontos no eixo real onde os ramos se separam.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o lugar das raízes com base nas informações obtidas:
- Polos em
, , e . - Assíntotas em
cruzando em . - Lugares no eixo real entre
e , e à direita de . - Pontos de breakaway identificados no passo anterior.
Com esses dados, podemos desenhar o root locus, indicando como os polos se movimentam no plano complexo conforme
varia de 0 ao infinito.
Resposta
O lugar das raízes para o sistema de controle em malha fechada possui quatro ramos que partem dos polos
,
, e
. As assíntotas são quatro, com ângulos de
e
, cruzando o eixo real em
. No eixo real, o lugar das raízes existe entre
e
, e à direita de
. Além disso, há pontos de breakaway onde os ramos se separam. Com todas essas informações, o root locus pode ser traçado mostrando o trajeto dos polos à medida que o ganho
varia.