Traçar os lugares das raízes para o sistema de controle a malha fechada:
G(s)=Ks(s+1)(s^2+4 s+5), H(s)=1

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O exercício pede para traçarmos o lugar das raízes para um sistema de controle em malha fechada com a função de transferência aberta dada por:
G(s) = Ks(s+1)(s^2+4s+5), H(s) = 1
Isso está dentro do conteúdo de Controle de Sistemas e mais especificamente sobre o Método do Lugar das Raízes (Root Locus). Para resolver isso, vamos precisar entender como o aumento do ganho afeta as posições dos polos do sistema em malha fechada no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos e zeros da função de transferência aberta G(s)H(s) = Ks(s+1)(s^2+4s+5) .
A função s = -4 pm raiz16 - 202 = -4 pm raiz-42 = -2 pm j é:
Aqui, não há zeros (os zeros são os valores de que fazem , e como o numerador é constante, não há zeros finitos).
Os polos são os valores de que fazem o denominador igual a zero:
  1. → resolvendo essa equação quadrática:
Então, os polos são , , e .

Passo 3

Agora, vamos determinar o número de ramos do lugar das raízes, que é igual ao número de polos menos o número de zeros. Como temos 4 polos e 0 zeros, teremos 4 ramos no lugar das raízes.
Em seguida, vamos encontrar os assíntotas. As assíntotas indicam para onde os ramos irão quando P - ZP - Z = 4 - 01 = 4 tende ao infinito. A fórmula para o número de assíntotas é dada por:
theta = (2q + 1)180^circP - Z, q = 0, 1, 2, dots
Entretanto, a fórmula correta para determinar o número de assíntotas é:
Número de Assíntotas = P - Z = 4 - 0 = 4
O ângulo das assíntotas é calculado por:
sigma = sum Polos - sum ZerosP - Z = 0 + (-1) + (-2) + (-2)4 = -54 = -1.25
Então, para :
As assíntotas se cruzam no ponto médio das assíntotas, que é dado por:
Portanto, as assíntotas cruzam o eixo real em .

Passo 4

Vamos agora identificar os interceptos do eixo real, ou seja, onde o lugar das raízes está no eixo real. O lugar das raízes no eixo real existe nas regiões onde o número de polos e zeros à direita de um ponto no eixo é ímpar.
Analisando o nosso sistema:
  • Entre e : 4 polos à direita → lugar não existe.
  • Entre e : 3 polos à direita → lugar existe.
  • Entre e : 2 polos à direita → lugar não existe.
  • Entre e : 1 polo à direita → lugar existe.
Portanto, o lugar das raízes estará no eixo real entre e , e à direita de .

Passo 5

Vamos encontrar os pontos de quebra ou breakaway points, onde dois ramos do lugar das raízes se encontram e se separam. Para isso, derivamos a equação do lugar das raízes e resolvemos onde a derivada é zero.
A condição para breakaway é:
dKds = 0
Começamos com a equação characteristic para malha fechada:
1 + G(s)H(s) = 0 Rightarrow 1 + Ks(s+1)(s^2+4s+5) = 0
Resolvendo para K = -s(s+1)(s^2+4s+5) :
dKds = -[(s+1)(s^2+4s+5) + s(1)(s^2+4s+5) + s(s+1)(2s+4)] = 0
Derivando em relação a :
Simplificando e resolvendo essa equação, encontramos os onde ocorre a breakaway. Esse processo envolve álgebra mais complexa, mas essencialmente identifica os pontos no eixo real onde os ramos se separam.

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o lugar das raízes com base nas informações obtidas:
  • Polos em , , e .
  • Assíntotas em cruzando em .
  • Lugares no eixo real entre e , e à direita de .
  • Pontos de breakaway identificados no passo anterior.
Com esses dados, podemos desenhar o root locus, indicando como os polos se movimentam no plano complexo conforme varia de 0 ao infinito.

Resposta

O lugar das raízes para o sistema de controle em malha fechada possui quatro ramos que partem dos polos , , e . As assíntotas são quatro, com ângulos de e , cruzando o eixo real em . No eixo real, o lugar das raízes existe entre e , e à direita de . Além disso, há pontos de breakaway onde os ramos se separam. Com todas essas informações, o root locus pode ser traçado mostrando o trajeto dos polos à medida que o ganho varia.

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