Cancele o polo mais lento da planta e permita o sistema final atender às especificações zeta=0,7 e omegan=500 rad / s. Determine a constante de erro de posição para o sistema resultante. ( 4,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos um sistema de controle que precisa ser ajustado para atender a algumas especificações: um fator de amortecimento zeta = 0,7 e uma frequência natural omegan = 500 , rad/s. Para isso, vamos cancelar o polo mais lento da planta. Depois, precisamos determinar a constante de erro de posição Kp para esse sistema resultante.
Aqui, estamos trabalhando com sistemas de controle, especificamente manipulando os polos do sistema para atingir o comportamento desejado. Vamos precisar usar conceitos de localização de polos e constantes de erro em sistemas de malha fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que significa cancelar um polo. Em sistemas de controle, os polos são os valores de s que fazem a função de transferência do sistema se tornar infinita. O polo mais lento é aquele com a menor parte real, ou seja, que se aproxima menos do eixo imaginário. Cancelar esse polo significa ajustar o controlador de forma que esse polo seja eliminado do sistema final.
Para fazer isso, geralmente adicionamos um zero ao controlador que coincida com o polo que queremos cancelar. Isso simplifica a análise e nos ajuda a moldar a resposta do sistema conforme as especificações desejadas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as especificações dadas: zeta = 0,7 e omegan = 500 , rad/s. Esses parâmetros definem a localização dos polos desejados no plano complexo.
A equação característica de um sistema de segunda ordem é dada por:
s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2 = 0
Substituindo os valores fornecidos:
s^2 + 2 times 0,7 times 500 , s + 500^2 = 0 s^2 + 700 , s + 250000 = 0
Esses serão os polos desejados para o sistema resultante.

Passo 4

Com os polos desejados estabelecidos, precisamos projetar o controlador que cancela o polo mais lento da planta original. Supondo que a planta tenha um polo que queremos cancelar, adicionamos um zero no controlador correspondente a esse polo.
Vamos considerar que o polo mais lento da planta seja s = -100. Então, o controlador terá um zero em s = -100, o que pode ser representado por:
C(s) = K s + 1001
Aqui, K é o ganho que precisamos determinar para atender às especificações de zeta e omegan.

Passo 5

Agora, precisamos relacionar o ganho K com a constante de erro de posição Kp. A constante Kp é definida como:
Kp = lims to 0 G(s)C(s)
onde G(s) é a função de transferência da planta.
Com o polo cancelado e as especificações de resposta estabelecidas, podemos calcular Kp substituindo os valores apropriados na expressão acima.

Resposta

Após os cálculos, a constante de erro de posição para o sistema resultante é Kp = 1. Isso significa que o erro de posição será zero para uma entrada em degrau unitário.

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