Cancele o polo mais lento da planta e permita o sistema final atender às especificações
e
. Determine a constante de erro de posição para o sistema resultante. ( 4,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos um sistema de controle que precisa ser ajustado para atender a algumas especificações: um fator de amortecimento
e uma frequência natural
. Para isso, vamos cancelar o polo mais lento da planta. Depois, precisamos determinar a constante de erro de posição
para esse sistema resultante.
Aqui, estamos trabalhando com sistemas de controle, especificamente manipulando os polos do sistema para atingir o comportamento desejado. Vamos precisar usar conceitos de localização de polos e constantes de erro em sistemas de malha fechada.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que significa cancelar um polo. Em sistemas de controle, os polos são os valores de
que fazem a função de transferência do sistema se tornar infinita. O polo mais lento é aquele com a menor parte real, ou seja, que se aproxima menos do eixo imaginário. Cancelar esse polo significa ajustar o controlador de forma que esse polo seja eliminado do sistema final.
Para fazer isso, geralmente adicionamos um zero ao controlador que coincida com o polo que queremos cancelar. Isso simplifica a análise e nos ajuda a moldar a resposta do sistema conforme as especificações desejadas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as especificações dadas:
e
. Esses parâmetros definem a localização dos polos desejados no plano complexo.
A equação característica de um sistema de segunda ordem é dada por:
Substituindo os valores fornecidos:
Esses serão os polos desejados para o sistema resultante.
Passo 4
Com os polos desejados estabelecidos, precisamos projetar o controlador que cancela o polo mais lento da planta original. Supondo que a planta tenha um polo que queremos cancelar, adicionamos um zero no controlador correspondente a esse polo.
Vamos considerar que o polo mais lento da planta seja
. Então, o controlador terá um zero em
, o que pode ser representado por:
Aqui,
é o ganho que precisamos determinar para atender às especificações de
e
.
Passo 5
Agora, precisamos relacionar o ganho
com a constante de erro de posição
. A constante
é definida como:
onde
é a função de transferência da planta.
Com o polo cancelado e as especificações de resposta estabelecidas, podemos calcular
substituindo os valores apropriados na expressão acima.
Resposta
Após os cálculos, a constante de erro de posição para o sistema resultante é
. Isso significa que o erro de posição será zero para uma entrada em degrau unitário.