Construa o gráfico do paraboloide elíptico dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=-z.

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico do paraboloide elíptico
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = -z
fazendo um estudo dos seus traços. O conteúdo é geometria analítica de superfícies quádricas. Para resolver, vamos:
  1. isolar z e identificar o tipo de superfície;
  2. estudar traços para planos z=\text{constante}, y=0 e x=0;
  3. descrever forma geral e localização do vértice e do eixo.

Passo 2

Isolando z obtemos
z = -\Bigl(\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16}\Bigr).
Isso mostra que é um paraboloide elíptico voltado para baixo (sentido negativo do eixo z), com vértice em (0,0,0) e domínio de valores z \le 0.

Passo 3

Traço com planos horizontais z = z_{0}. Para cada constante z_{0}:
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = -\,z_{0}.
Se z_{0}<0, então -z_{0}=c>0 e a curva é uma elipse de equação
\frac{x^{2}}{4c} + \frac{y^{2}}{16c} = 1,
com semieixos a=2\sqrt{c} em x e b=4\sqrt{c} em y. Se z_{0}=0, a elipse degenera no ponto (0,0,0). Não há traço para z_{0}>0.

Passo 4

Traço no plano y=0. Substituindo y=0 em z = -\bigl(x^{2}/4 + y^{2}/16\bigr)
z = -\frac{x^{2}}{4},
que é uma parábola no plano x\!z com vértice em (0,0) e abrindo para baixo.
Traço no plano x=0. Análogo, substituindo x=0:
z = -\frac{y^{2}}{16},
outra parábola no plano y\!z abrindo para baixo, mais “achatada” (pois o denominador é maior).

Passo 5

Descrição final do gráfico:
  • Vértice em (0,0,0).
  • Eixo é a reta (0,0,z), orientação para valores decrescentes de z.
  • Seções horizontais z=z_{0}<0 são elipses centradas em (0,0,z_{0}).
  • Seções verticais em planos coordenados y=0 e x=0 são parábolas descendo em z.

Resposta

O gráfico é um paraboloide elíptico voltado para baixo, vértice em (0,0,0), eixo sobre o eixo z. As secções z=z_{0}<0 são elipses \tfrac{x^{2}}{4(-z_{0})} + \tfrac{y^{2}}{16(-z_{0})}=1, e as secções em y=0 e x=0 são parábolas z=-x^{2}/4 e z=-y^{2}/16, respectivamente.

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