Construa o gráfico do paraboloide elíptico dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico do paraboloide elíptico
fazendo um estudo dos seus traços. O conteúdo é geometria analítica de superfícies quádricas. Para resolver, vamos:
- isolar
e identificar o tipo de superfície; - estudar traços para planos
, e ; - descrever forma geral e localização do vértice e do eixo.
Passo 2
Isolando
obtemos
Isso mostra que é um paraboloide elíptico voltado para baixo (sentido negativo do eixo
), com vértice em
e domínio de valores
.
Passo 3
Traço com planos horizontais
. Para cada constante
:
Se
, então
e a curva é uma elipse de equação
com semieixos
em
e
em
. Se
, a elipse degenera no ponto
. Não há traço para
.
Passo 4
Traço no plano
. Substituindo
em
dá
que é uma parábola no plano
com vértice em
e abrindo para baixo.
Traço no plano
. Análogo, substituindo
:
outra parábola no plano
abrindo para baixo, mais “achatada” (pois o denominador é maior).
Passo 5
Descrição final do gráfico:
- Vértice em
. - Eixo é a reta
, orientação para valores decrescentes de . - Seções horizontais
são elipses centradas em . - Seções verticais em planos coordenados
e são parábolas descendo em .
Resposta
O gráfico é um paraboloide elíptico voltado para baixo, vértice em
, eixo sobre o eixo
. As secções
são elipses
, e as secções em
e
são parábolas
e
, respectivamente.