Construa o gráfico do paraboloide elíptico dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o paraboloide elíptico dado por
e estudar seus traços nos planos paralelos aos eixos coordenados. O conteúdo aqui é superfícies quadráticas e seixos de interseção (traços).
Passo 2
Traços horizontais (planos
): substituindo
em
temos:
- Se
, não há pontos reais. - Se
, fica , só o ponto . - Se
, é uma elipse de semieixos
centrada na origem e contida no plano
.
Passo 3
Traços verticais nos planos
e
:
- Se
(plano paralelo ao eixo ),
que é uma parábola em cada reta
, abrindo para
ao longo de
.
- Se
(plano paralelo ao eixo ),
parábola em cada reta
, também abrindo para cima.
Passo 4
Com base nos traços:
- Vértice em
. - Eixo de simetria é a reta
, (direção ). - As seções horizontais são elipses que crescem conforme
aumenta. - As seções verticais são parábolas de abertura positiva.
Logo, o gráfico é um paraboloide elíptico aberto para cima, com leste eixo vertical.
Resposta
O gráfico é um paraboloide elíptico com vértice em
e eixo ao longo de
. Seus traços são:
: elipses
(para
);
ou
: parábolas
e
.