Construa o gráfico do paraboloide elíptico dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=z.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o paraboloide elíptico dado por
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=z
e estudar seus traços nos planos paralelos aos eixos coordenados. O conteúdo aqui é superfícies quadráticas e seixos de interseção (traços).

Passo 2

Traços horizontais (planos z=k): substituindo z=k em
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=k
temos:
  • Se k<0, não há pontos reais.
  • Se k=0, fica \tfrac{x^2}{4}+\tfrac{y^2}{16}=0, só o ponto (0,0,0).
  • Se k>0, é uma elipse de semieixos
a=2\sqrt{k},\qquad b=4\sqrt{k}
centrada na origem e contida no plano z=k.

Passo 3

Traços verticais nos planos y=y_0 e x=x_0:
  • Se y=y_0 (plano paralelo ao eixo xz),
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y_{0}^{2}}{16}=z \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y_{0}^{2}}{16},
que é uma parábola em cada reta y=y_0, abrindo para +\infty ao longo de z.
  • Se x=x_0 (plano paralelo ao eixo yz),
\frac{x_{0}^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=z \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{x_{0}^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16},
parábola em cada reta x=x_0, também abrindo para cima.

Passo 4

Com base nos traços:
  • Vértice em (0,0,0).
  • Eixo de simetria é a reta x=0, y=0 (direção z).
  • As seções horizontais são elipses que crescem conforme z aumenta.
  • As seções verticais são parábolas de abertura positiva.
Logo, o gráfico é um paraboloide elíptico aberto para cima, com leste eixo vertical.

Resposta

O gráfico é um paraboloide elíptico com vértice em (0,0,0) e eixo ao longo de z. Seus traços são: \,z=k: elipses \tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{y^{2}}{16}=k (para k>0); \,y=y_{0} ou x=x_{0}: parábolas z=\tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{y_{0}^{2}}{16} e z=\tfrac{x_{0}^{2}}{4}+\tfrac{y^{2}}{16}.

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