Construa o gráfico do paraboloide elíptico dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o paraboloide elíptico definido por
e fazer um estudo dos seus traços. Esse é um problema de superfícies quádricas em
, em que vamos identificar seções por planos
,
e
para entender a forma da superfície.
Passo 2
Para reconhecer o tipo de superfície, isolamos
:
Isso mostra que
cresce quadraticamente em
e
, ou seja, é um paraboloide elíptico cujo vértice está em
e que se abre no sentido do eixo
(positivo).
Passo 3
Traços em planos paralelos ao plano
(i.e.\
):
Se
, a equação vira
- Para
não há pontos reais (lado esquerdo é não negativo). - Para
a única solução é e , ponto . - Para
temos elipses centradas em de equação
Passo 4
Traços em planos coordenados:
- Plano
:
que são parábolas no plano
, abrindo para
.
2. Plano :
2. Plano
parábolas no plano
, também para
.
3. Plano :
3. Plano
só se satisfaz em
, o vértice.
Passo 5
Traços em planos verticais fixos
ou
:
- Para
a equação fica
uma parábola em
, deslocada segundo
.
- Para
análogamente
parábola em
.
Passo 6
Juntando tudo, o gráfico é um paraboloide elíptico com:
- Vértice em
. - Eixo principal alinhado com o eixo
, abrindo para . - Seções transversais
são elipses que crescem de tamanho conforme aumenta. - Seções pelas coordenadas
ou são parábolas.
Resposta
O paraboloide elíptico de equação
tem vértice em
, abre-se ao longo do eixo positivo
e apresenta seções por
como elipses, e por
ou
como parábolas.