Construa o gráfico do paraboloide elíptico dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
\frac{y^{2}}{75}+\frac{z^{2}}{12}=3 x.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o paraboloide elíptico definido por
\frac{y^{2}}{75}+\frac{z^{2}}{12}=3x
e fazer um estudo dos seus traços. Esse é um problema de superfícies quádricas em \mathbb{R}^3, em que vamos identificar seções por planos x=\text{constante}, y=\text{constante} e z=\text{constante} para entender a forma da superfície.

Passo 2

Para reconhecer o tipo de superfície, isolamos x:
3x=\frac{y^{2}}{75}+\frac{z^{2}}{12} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{y^{2}}{225}+\frac{z^{2}}{36}.
Isso mostra que x cresce quadraticamente em y e z, ou seja, é um paraboloide elíptico cujo vértice está em (0,0,0) e que se abre no sentido do eixo Ox (positivo).

Passo 3

Traços em planos paralelos ao plano yz (i.e.\ x=a):
Se x=a, a equação vira
\frac{y^{2}}{75}+\frac{z^{2}}{12}=3a.
  • Para a<0 não há pontos reais (lado esquerdo é não negativo).
  • Para a=0 a única solução é y=0 e z=0, ponto (0,0,0).
  • Para a>0 temos elipses centradas em (a,0,0) de equação
\frac{y^{2}}{75}+\frac{z^{2}}{12}=3a.

Passo 4

Traços em planos coordenados:
  1. Plano y=0:
\frac{z^{2}}{12}=3x \quad\Longrightarrow\quad z=\pm6\sqrt{x},
que são parábolas no plano xz, abrindo para x\ge0.
2. Plano z=0:
\frac{y^{2}}{75}=3x \quad\Longrightarrow\quad y=\pm15\sqrt{x},
parábolas no plano xy, também para x\ge0.
3. Plano x=0:
\frac{y^{2}}{75}+\frac{z^{2}}{12}=0
só se satisfaz em (0,0,0), o vértice.

Passo 5

Traços em planos verticais fixos y=y_{0} ou z=z_{0}:
  • Para y=y_{0} a equação fica
\frac{z^{2}}{12}=3x-\frac{y_{0}^{2}}{75},
uma parábola em (x,z), deslocada segundo y_{0}.
  • Para z=z_{0} análogamente
\frac{y^{2}}{75}=3x-\frac{z_{0}^{2}}{12},
parábola em (x,y).

Passo 6

Juntando tudo, o gráfico é um paraboloide elíptico com:
  • Vértice em (0,0,0).
  • Eixo principal alinhado com o eixo Ox, abrindo para x>0.
  • Seções transversais x=\text{const}>0 são elipses que crescem de tamanho conforme x aumenta.
  • Seções pelas coordenadas y=0 ou z=0 são parábolas.

Resposta

O paraboloide elíptico de equação
\frac{y^{2}}{75}+\frac{z^{2}}{12}=3x
tem vértice em (0,0,0), abre-se ao longo do eixo positivo Ox e apresenta seções por x=\text{const} como elipses, e por y=0 ou z=0 como parábolas.

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