Reduza cada uma das equações à forma padrão da equação de um paraboloide elíptico e faça um esboço da superfície.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície definida por
e pede para reduzi-la à forma padrão de um paraboloide elíptico e fazer um esboço. Vamos usar a identificação de quádricas em
.
Passo 2
Isolamos
para comparar com a forma padrão. A partir de
segue
Passo 3
A forma geral de um paraboloide elíptico é
Comparando com
, vemos que
e
, ou seja,
. É um paraboloide de revolução com vértice em
e abertura para cima (eixo
).
Passo 4
Para esboçar:
As seções horizontais por (com
) são
As seções horizontais por
círculos de raio
.
As seções verticais por e por
são as paráboles
As seções verticais por
Logo a superfície é um “bowl” circular, simétrico em torno do eixo
, com vértice em
.
Resposta
A forma padrão é
isto é, um paraboloide de revolução com
e vértice em
. O esboço consiste em círculos concêntricos no plano
para cada nível
e paráboles nas seções verticais.