Reduza cada uma das equações à forma padrão da equação de um paraboloide elíptico e faça um esboço da superfície.
x^{2}+y^{2}-z=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície definida por
x^{2}+y^{2}-z=0
e pede para reduzi-la à forma padrão de um paraboloide elíptico e fazer um esboço. Vamos usar a identificação de quádricas em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Isolamos z para comparar com a forma padrão. A partir de
x^{2}+y^{2}-z=0
segue
z = x^{2}+y^{2}.

Passo 3

A forma geral de um paraboloide elíptico é
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = z.
Comparando com z = x^{2}+y^{2}, vemos que a^{2}=1 e b^{2}=1, ou seja, a=b=1. É um paraboloide de revolução com vértice em (0,0,0) e abertura para cima (eixo z).

Passo 4

Para esboçar:
As seções horizontais por z=c (com c\ge0) são
x^{2}+y^{2}=c,
círculos de raio \sqrt{c}.
As seções verticais por y=0 e por x=0 são as paráboles
z=x^{2} \quad\text{e}\quad z=y^{2}.
Logo a superfície é um “bowl” circular, simétrico em torno do eixo z, com vértice em (0,0,0).

Resposta

A forma padrão é
z = \frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{1},
isto é, um paraboloide de revolução com a=b=1 e vértice em (0,0,0). O esboço consiste em círculos concêntricos no plano xy para cada nível z=c\ge0 e paráboles nas seções verticais.

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