Construa o gráfico do paraboloide hiperbólico dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do paraboloide hiperbólico definido por
e requer um estudo de traços (cortes por planos). Vamos, portanto, analisar as interseções dessa superfície com:
- Planos horizontais
. - Planos verticais paralelos ao plano
(isto é, ). - Planos verticais paralelos ao plano
(isto é, ).
Passo 2
Traços horizontais em
.
Seja fixo; a equação da curva-nível é
Seja
- Para
: temos hipérboles com eixo real ao longo de , ramo para e . - Para
: há hipérboles com eixo real ao longo de , ramo para e . - Para
: a curva degenera em duas retas passando pela origem, dadas por , isto é, .
Passo 3
Traços verticais no plano
.
Fixando , a interseção satisfaz
Fixando
que é uma parábola no plano
com vértice em
, abrindo para cima, independentemente de
. Conforme
varia, essa família de parábolas sobe ou desce, mas mantém sempre a concavidade voltada para
.
Passo 4
Traços verticais no plano
.
Com fixo, a interseção é
Com
que é uma parábola no plano
com vértice em
, abrindo para baixo (concavidade voltada para
). À medida que
varia, o vértice se desloca ao longo do eixo
conforme
.
Passo 5
Conclusão e esboço.
- Nos cortes horizontais aparecem hipérboles de direções alternadas, o que caracteriza a curvatura negativa (“sela”).
- Nos cortes verticais em
temos parábolas voltadas para cima; em , parábolas voltadas para baixo.
Portanto, a superfície é uma sela (“paraboloide hiperbólico”) com abertura positiva na direçãoe abertura negativa na direção .
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide hiperbólico (sela) cuja seção por
são hipérboles, por
são parábolas voltadas para cima e por
são parábolas voltadas para baixo.