Construa o gráfico do paraboloide hiperbólico dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
x^{2}-y^{2}=z.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do paraboloide hiperbólico definido por
z = x^{2} - y^{2}
e requer um estudo de traços (cortes por planos). Vamos, portanto, analisar as interseções dessa superfície com:
  1. Planos horizontais z = c.
  2. Planos verticais paralelos ao plano y\!z (isto é, x = k).
  3. Planos verticais paralelos ao plano x\!z (isto é, y = k).

Passo 2

Traços horizontais em z = c.
Seja c fixo; a equação da curva-nível é
x^{2} - y^{2} = c.
  • Para c>0: temos hipérboles com eixo real ao longo de x, ramo para x\ge\sqrt{c} e x\le -\sqrt{c}.
  • Para c<0: há hipérboles com eixo real ao longo de y, ramo para y\ge\sqrt{-c} e y\le -\sqrt{-c}.
  • Para c=0: a curva degenera em duas retas passando pela origem, dadas por x^{2}=y^{2}, isto é, y=\pm x.

Passo 3

Traços verticais no plano y = k.
Fixando y=k, a interseção satisfaz
z = x^{2} - k^{2},
que é uma parábola no plano (x,z) com vértice em (0,-k^{2}), abrindo para cima, independentemente de k. Conforme k varia, essa família de parábolas sobe ou desce, mas mantém sempre a concavidade voltada para +\!z.

Passo 4

Traços verticais no plano x = k.
Com x=k fixo, a interseção é
z = k^{2} - y^{2},
que é uma parábola no plano (y,z) com vértice em (0,k^{2}), abrindo para baixo (concavidade voltada para -\!z). À medida que k varia, o vértice se desloca ao longo do eixo z conforme k^{2}.

Passo 5

Conclusão e esboço.
  • Nos cortes horizontais aparecem hipérboles de direções alternadas, o que caracteriza a curvatura negativa (“sela”).
  • Nos cortes verticais em y\!z temos parábolas voltadas para cima; em x\!z, parábolas voltadas para baixo.
    Portanto, a superfície é uma sela (“paraboloide hiperbólico”) com abertura positiva na direção x e abertura negativa na direção y.

Resposta

O gráfico de z = x^{2}-y^{2} é um paraboloide hiperbólico (sela) cuja seção por z=c são hipérboles, por y=k são parábolas voltadas para cima e por x=k são parábolas voltadas para baixo.

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