Construa o gráfico das seguintes funções de
f(x)=-x^{2}+2 x-2

Passo 1

O enunciado pede: construir o gráfico da função f(x)=-x^{2}+2x-2.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=-x^{2}+2x-2.
  • Não há outras figuras ou dados fornecidos.
O que precisamos obter para desenhar o gráfico: formato da parábola (abertura para cima ou para baixo), vértice, eixo de simetria, interceptos com os eixos (quando existirem), alguns pontos extras para esboçar a curva e o intervalo de valores (imagem) alcançados pela função.

Passo 2

Identificar a forma da função e a concavidade.
Uma função quadrática tem forma geral ax^{2}+bx+c. Aqui temos a=-1, b=2, c=-2.
O sinal de a determina a concavidade:
  • Se a>0: parábola abre para cima (mínimo).
  • Se a<0: parábola abre para baixo (máximo).
Como a=-1<0, a parábola abre para baixo — isto é, tem um ponto máximo (vértice).

Passo 3

Encontrar o vértice completando o quadrado (método prático e robusto). Vou reescrever f(x) completando o quadrado passo a passo.
Começo por fatorar o coeficiente de x^{2} (que é -1) dos termos quadrático e linear:
f(x) = -x^{2}+2x-2 = -\bigl(x^{2}-2x\bigr)-2.
Para completar o quadrado dentro do parêntese, adiciono e subtraio (\tfrac{2}{2})^{2}=1:
-x^{2}+2x-2 = -\bigl(x^{2}-2x+1-1\bigr)-2.
Agrupando:
= -\bigl((x-1)^{2}-1\bigr)-2.
Distribuindo o sinal negativo:
= -(x-1)^{2}+1-2 = -(x-1)^{2}-1.
Essa é a forma de vértice. A partir disso fica claro que o vértice é o ponto (x_{v},y_{v})=(1,-1), porque a expressão está na forma -(x-1)^{2}-1.

Passo 4

Eixo de simetria e interpretação do vértice.
  • O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo x do vértice, ou seja, x=1.
  • Como a parábola abre para baixo e o vértice tem y_{v}=-1, esse é o valor máximo da função: \max f = -1.

Passo 5

Intercepto com o eixo y (fácil): calcular f(0).
f(0) = -0^{2}+2\cdot0-2 = -2.
Portanto a parábola corta o eixo y no ponto (0,-2).

Passo 6

Raízes (interceptos com o eixo x): uso do discriminante.
Para encontrar raízes, resolveríamos -x^{2}+2x-2=0. O discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = 2^{2}-4(-1)(-2)=4-8=-4.
Como \Delta<0, não existem raízes reais: a parábola não corta o eixo x. Em palavras: toda a curva fica abaixo do eixo x, já que o máximo (vértice) tem y=-1<0.

Passo 7

Pontos adicionais simétricos para esboçar bem a curva.
A parábola é simétrica em relação a x=1. Já temos f(0)=-2. Por simetria, f(2)=-2 também (pois 2 está à mesma distância de 1 que 0). Calculo alguns pontos inteiros úteis:
f(0)=-2,\qquad f(1)=-1\\ (\text{vértice}),\qquad f(2)=-2.é
Mais afastados:
f(-1) = -(-1)^{2}+2(-1)-2 = -1-2-2 = -5,
f(3) = -9+6-2 = -5.
Então pontos úteis: (-1,-5),(0,-2),(1,-1),(2,-2),(3,-5).
Como esboçar no papel:
  • Desenhe eixos x e y.
  • Marque o vértice (1,-1).
  • Trace a reta de simetria x=1 (linha pontilhada, se quiser).
  • Marque os pontos (0,-2) e (2,-2) (simétricos) e (-1,-5),(3,-5).
  • Ligue suavemente esses pontos com uma curva em “U” invertido (abertura para baixo), cuidando da simetria. Não haverá interseção com o eixo x.

Passo 8

Domínio e imagem (intervalo de valores):
  • Domínio: todos os reais, \mathbb{R}.
  • Imagem (range): como o vértice é máximo com y_{v}=-1 e a parábola abre para baixo, a imagem é (-\infty,-1].

Resposta

Vértice: (1,-1)
Eixo de simetria: x=1
Forma de vértice: f(x)=-(x-1)^{2}-1
Abertura: para baixo (pois a=-1<0)
Intercepto com y: (0,-2)
Interceptos com x: nenhum (nenhuma raiz real, \Delta=-4<0)
Pontos úteis: (-1,-5),(0,-2),(1,-1),(2,-2),(3,-5)
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-\infty,-1]

Exercícios relacionados