Construa o gráfico das seguintes funções de
Passo 1
O enunciado pede: construir o gráfico da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - Não há outras figuras ou dados fornecidos.
O que precisamos obter para desenhar o gráfico: formato da parábola (abertura para cima ou para baixo), vértice, eixo de simetria, interceptos com os eixos (quando existirem), alguns pontos extras para esboçar a curva e o intervalo de valores (imagem) alcançados pela função.
Passo 2
Identificar a forma da função e a concavidade.
Uma função quadrática tem forma geral . Aqui temos
,
,
.
Uma função quadrática tem forma geral
O sinal de
determina a concavidade:
- Se
: parábola abre para cima (mínimo). - Se
: parábola abre para baixo (máximo).
Como
, a parábola abre para baixo — isto é, tem um ponto máximo (vértice).
Passo 3
Encontrar o vértice completando o quadrado (método prático e robusto). Vou reescrever
completando o quadrado passo a passo.
Começo por fatorar o coeficiente de
(que é
) dos termos quadrático e linear:
Para completar o quadrado dentro do parêntese, adiciono e subtraio
:
Agrupando:
Distribuindo o sinal negativo:
Essa é a forma de vértice. A partir disso fica claro que o vértice é o ponto
, porque a expressão está na forma
.
Passo 4
Eixo de simetria e interpretação do vértice.
- O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo
do vértice, ou seja, . - Como a parábola abre para baixo e o vértice tem
, esse é o valor máximo da função: .
Passo 5
Intercepto com o eixo
(fácil): calcular
.
Portanto a parábola corta o eixo
no ponto
.
Passo 6
Raízes (interceptos com o eixo
): uso do discriminante.
Para encontrar raízes, resolveríamos . O discriminante é
Para encontrar raízes, resolveríamos
Como
, não existem raízes reais: a parábola não corta o eixo
. Em palavras: toda a curva fica abaixo do eixo
, já que o máximo (vértice) tem
.
Passo 7
Pontos adicionais simétricos para esboçar bem a curva.
A parábola é simétrica em relação a . Já temos
. Por simetria,
também (pois
está à mesma distância de
que
). Calculo alguns pontos inteiros úteis:
A parábola é simétrica em relação a
Mais afastados:
Então pontos úteis:
.
Como esboçar no papel:
- Desenhe eixos
e . - Marque o vértice
. - Trace a reta de simetria
(linha pontilhada, se quiser). - Marque os pontos
e (simétricos) e . - Ligue suavemente esses pontos com uma curva em “U” invertido (abertura para baixo), cuidando da simetria. Não haverá interseção com o eixo
.
Passo 8
Domínio e imagem (intervalo de valores):
- Domínio: todos os reais,
. - Imagem (range): como o vértice é máximo com
e a parábola abre para baixo, a imagem é .
Resposta
Vértice:
Eixo de simetria:
Forma de vértice:
Abertura: para baixo (pois )
Intercepto com :
Interceptos com : nenhum (nenhuma raiz real,
)
Pontos úteis:
Domínio:
Imagem:
Eixo de simetria:
Forma de vértice:
Abertura: para baixo (pois
Intercepto com
Interceptos com
Pontos úteis:
Domínio:
Imagem: