Construa o gráfico das seguintes funções de
f(x)=2 x^{2}-4 x

Passo 1

O enunciado pede que eu construa o gráfico da função dada. As informações explícitas são:
  • A função é f(x)=2x^{2}-4x.
  • Pedido: construir o gráfico de f, isto é, obter os pontos e características suficientes para desenhar a curva.

Passo 2

Identificar o tipo de curva e o comportamento básico.
  • A expressão f(x)=2x^{2}-4x é um polinômio de segundo grau (forma geral ax^{2}+bx+c com a=2, b=-4, c=0).
  • Uma função quadrática com a>0 abre para cima (forma de “U”). Aqui a=2>0, portanto a parábola abre para cima.
    Explicação curta: o termo ax^{2} domina para |x| grandes; se a>0 os valores de f(x) crescem quando x\to\pm\infty.

Passo 3

Encontrar o vértice da parábola (ponto mínimo, porque abre para cima).
  • Fórmula direta para a abscissa do vértice: x_{v}=-\dfrac{b}{2a}.
  • Substituindo a=2 e b=-4:
x_{v}=-\dfrac{-4}{2\cdot 2}=\dfrac{4}{4}=1.
  • Agora calculo a ordenada y_{v}=f(x_{v})=f(1):
f(1)=2\cdot 1^{2}-4\cdot 1=2-4=-2.
Portanto o vértice é o ponto (1,-2).
Breve justificativa da fórmula: derivando f(x)=2x^{2}-4x f'(x)=4x-4; solução de f'(x)=0 é x=1. Esta é a abscissa do extremo.

Passo 4

Eixo de simetria.
  • A parábola é simétrica em torno da reta vertical que passa pelo vértice. Essa reta é dada por x=x_{v}.
  • Aqui o eixo de simetria é x=1.
O que isto significa na prática: para cada ponto à esquerda do eixo com abscissa 1-h existe um ponto à direita com abscissa 1+h e mesma ordenada.

Passo 5

Interceptos com os eixos (pontos fáceis de marcar).
  • Intercepto com o eixo y: tomar x=0:
f(0)=2\cdot 0^{2}-4\cdot 0=0.
Logo o intercepto em y é (0,0).
  • Interceptos com o eixo x (raízes): resolver 2x^{2}-4x=0.
    Fatorando:
2x^{2}-4x=2x(x-2)=0,
logo x=0 ou x=2. Assim as raízes são (0,0) e (2,0).
Observação: o ponto (0,0) é simultaneamente intercepto em x e em y.

Passo 6

Reescrever em forma de vértice (completar o quadrado) para ver mais claramente a forma e o mínimo.
  • Começo com f(x)=2x^{2}-4x. Primeiro fatoro o 2 dos termos em x:
f(x)=2\bigl(x^{2}-2x\bigr).
  • Agora completo o quadrado dentro do parêntese: x^{2}-2x = x^{2}-2x+1-1=(x-1)^{2}-1.
  • Substituindo:
f(x)=2\bigl((x-1)^{2}-1\bigr)=2(x-1)^{2}-2.
Esta é a forma vértice: f(x)=2(x-1)^{2}-2, mostrando diretamente que o mínimo ocorre em x=1 com valor -2.

Passo 7

Escolher pontos adicionais para desenhar a curva com precisão e usar a simetria para economizar cálculo.
  • Já tenho (1,-2) (vértice), (0,0), (2,0).
  • Calculo mais alguns pontos simétricos em torno de x=1:
    • Para x=-1:
    f(-1)=2\cdot(-1)^{2}-4\cdot(-1)=2+4=6,ponto (-1,6).
    • Para x=3 (simétrico de -1 em relação a x=1):
    f(3)=2\cdot 3^{2}-4\cdot 3=18-12=6,ponto (3,6).
    • Para x=\tfrac{1}{2}:
    f\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=2\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-4\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=2\cdot\tfrac{1}{4}-2= \tfrac{1}{2}-2=-\tfrac{3}{2},ponto \bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr).
    • Para x=\tfrac{3}{2} (simétrico de \tfrac{1}{2}):
    f\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)=2\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-4\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)=2\cdot\tfrac{9}{4}-6=\tfrac{9}{2}-6=-\tfrac{3}{2},ponto \bigl(\tfrac{3}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr).
Tabela resumida de pontos úteis:
  • (-1,6), (0,0), \bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr), (1,-2), \bigl(\tfrac{3}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr), (2,0), (3,6).

Passo 8

Interpretação geométrica para o desenho (o que cada característica dita para o esboço).
  • Vértice (1,-2): ponto mais baixo da parábola.
  • Eixo de simetria x=1: desenhar uma reta tracejada vertical aí para guiar o esboço.
  • Raízes em x=0 e x=2: a parábola corta o eixo x nesses pontos.
  • A constante a=2 indica que a parábola é mais “estreita” do que y=x^{2}: fator de estiramento vertical de 2 (ou compressão horizontal equivalente). Em termos práticos, para deslocamento horizontal h a subida em y é o dobro do que seria em x^{2}.

Passo 9

Como construir o gráfico passo a passo (na prova, lápis e papel):
  1. Marque o vértice (1,-2).
  2. Desenhe o eixo de simetria x=1 como uma linha tracejada.
  3. Marque os interceptos (0,0) e (2,0).
  4. Marque os pontos adicionais calculados (-1,6), (3,6), \bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr), \bigl(\tfrac{3}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr).
  5. Ligue suavemente os pontos formando uma curva em “U” que passa por eles, respeitando a simetria e o mínimo no vértice.
    Dica de prova: marque sempre vértice e raízes primeiro; com mais dois ou três pontos bem escolhidos a forma fica clara e precisa.

Passo 10

Verificações finais e observações úteis para a prova.
  • Confirmação via derivada:
f'(x)=4x-4,\quad f'(x)=0\Rightarrow x=1,\quad f''(x)=4>0\Rightarrow \text{mínimo em }x=1.í
  • Forma vértice (resumo útil para a resposta): f(x)=2(x-1)^{2}-2.
  • Comportamento extremo: \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.

Resposta

Vértice: (1,-2)
Eixo de simetria: x=1
Interceptos: (0,0) e (2,0)
Forma vértice: f(x)=2(x-1)^{2}-2
Pontos adicionais úteis para o esboço: (-1,6), \bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr), \bigl(\tfrac{3}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr), (3,6)

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