Construa o gráfico das seguintes funções de
Passo 1
O enunciado pede que eu construa o gráfico da função dada. As informações explícitas são:
- A função é
. - Pedido: construir o gráfico de
, isto é, obter os pontos e características suficientes para desenhar a curva.
Passo 2
Identificar o tipo de curva e o comportamento básico.
- A expressão
é um polinômio de segundo grau (forma geral com , , ). - Uma função quadrática com
abre para cima (forma de “U”). Aqui , portanto a parábola abre para cima.
Explicação curta: o termodomina para grandes; se os valores de crescem quando .
Passo 3
Encontrar o vértice da parábola (ponto mínimo, porque abre para cima).
- Fórmula direta para a abscissa do vértice:
. - Substituindo
e :
- Agora calculo a ordenada
:
Portanto o vértice é o ponto
.
Breve justificativa da fórmula: derivando
dá
; solução de
é
. Esta é a abscissa do extremo.
Passo 4
Eixo de simetria.
- A parábola é simétrica em torno da reta vertical que passa pelo vértice. Essa reta é dada por
. - Aqui o eixo de simetria é
.
O que isto significa na prática: para cada ponto à esquerda do eixo com abscissa
existe um ponto à direita com abscissa
e mesma ordenada.
Passo 5
Interceptos com os eixos (pontos fáceis de marcar).
- Intercepto com o eixo
: tomar :
Logo o intercepto em
é
.
- Interceptos com o eixo
(raízes): resolver .
Fatorando:
logo
ou
. Assim as raízes são
e
.
Observação: o ponto
é simultaneamente intercepto em
e em
.
Passo 6
Reescrever em forma de vértice (completar o quadrado) para ver mais claramente a forma e o mínimo.
- Começo com
. Primeiro fatoro o dos termos em :
- Agora completo o quadrado dentro do parêntese:
. - Substituindo:
Esta é a forma vértice:
, mostrando diretamente que o mínimo ocorre em
com valor
.
Passo 7
Escolher pontos adicionais para desenhar a curva com precisão e usar a simetria para economizar cálculo.
- Já tenho
(vértice), , . - Calculo mais alguns pontos simétricos em torno de
: - Para
:
ponto . - Para
(simétrico de em relação a ):
ponto . - Para
:
ponto . - Para
(simétrico de ):
ponto . - Para
Tabela resumida de pontos úteis:
-
, , , , , , .
Passo 8
Interpretação geométrica para o desenho (o que cada característica dita para o esboço).
- Vértice
: ponto mais baixo da parábola. - Eixo de simetria
: desenhar uma reta tracejada vertical aí para guiar o esboço. - Raízes em
e : a parábola corta o eixo nesses pontos. - A constante
indica que a parábola é mais “estreita” do que : fator de estiramento vertical de (ou compressão horizontal equivalente). Em termos práticos, para deslocamento horizontal a subida em é o dobro do que seria em .
Passo 9
Como construir o gráfico passo a passo (na prova, lápis e papel):
- Marque o vértice
. - Desenhe o eixo de simetria
como uma linha tracejada. - Marque os interceptos
e . - Marque os pontos adicionais calculados
, , , . - Ligue suavemente os pontos formando uma curva em “U” que passa por eles, respeitando a simetria e o mínimo no vértice.
Dica de prova: marque sempre vértice e raízes primeiro; com mais dois ou três pontos bem escolhidos a forma fica clara e precisa.
Passo 10
Verificações finais e observações úteis para a prova.
- Confirmação via derivada:
- Forma vértice (resumo útil para a resposta):
. - Comportamento extremo:
.
Resposta
Vértice:
Eixo de simetria:
Interceptos: e
Forma vértice:
Pontos adicionais úteis para o esboço: ,
,
,
Eixo de simetria:
Interceptos:
Forma vértice:
Pontos adicionais úteis para o esboço: