Construa os gráficos das funções definidas em mathbb{R} :
y=2 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
y = 2x^{2}
definida em \mathbb{R}. Trata-se de uma função quadrática, cujo gráfico é uma parábola. Para desenhá-la, precisamos identificar domínio, imagem, vértice, eixos de simetria, monotonia, concavidade, interceptos e alguns pontos especiais.

Passo 2

Domínio e imagem
O domínio de y=2x^{2} é todo o conjunto dos reais, ou seja, \text{Domínio}=\mathbb{R}.í
Como 2x^{2}\ge0 para todo x, a imagem é
\text{Imagem}=[0,\infty).

Passo 3

Vértice e eixo de simetria
Derivando,
y' = \frac{d}{dx}(2x^{2}) = 4x,
e igualando a zero, 4x=0 x=0. O valor correspondente é y(0)=0. Logo, o vértice é o ponto (0,0) e o eixo de simetria é a reta x=0.

Passo 4

Paridade e simetria
Observamos que
f(-x)=2(-x)^{2}=2x^{2}=f(x),
logo a função é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 5

Monotonia
Como y'=4x, temos
- y'<0 para x<0: a função é decrescente em (-\infty,0].
- y'>0 para x>0: a função é crescente em [0,\infty).

Passo 6

Concavidade
A segunda derivada é
y'' = \frac{d}{dx}(4x) = 4>0,
portanto a parábola é côncava para cima em todo o domínio.

Passo 7

Interceptos e pontos auxiliares
- Intercepto em x: resolver 2x^{2}=0 x=0.
- Intercepto em y: em x=0, y=0.
Para guiar o esboço, tabulamos alguns pontos:
\begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\hline y=2x^{2} & 8 & 2 & 0 & 2 & 8 \end{array}

Passo 8

Esboço do gráfico
  1. Marque o vértice (0,0).
  2. Marque os pontos (-2,8), (-1,2), (1,2), (2,8).
  3. Trace uma curva suave unindo esses pontos, simétrica em relação ao eixo y, abrindo para cima e “mais estreita” que y=x^{2} (devido ao fator 2).

Resposta

O gráfico de y=2x^{2} é uma parábola de vértice em (0,0), simétrica ao eixo y, côncava para cima, passando pelos pontos (-1,2), (1,2), (-2,8), (2,8) e com domínio \mathbb{R} e imagem [0,\infty).

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