Construa os gráficos das funções definidas em
:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
definida em
. Trata-se de uma função quadrática, cujo gráfico é uma parábola. Para desenhá-la, precisamos identificar domínio, imagem, vértice, eixos de simetria, monotonia, concavidade, interceptos e alguns pontos especiais.
Passo 2
Domínio e imagem
O domínio de é todo o conjunto dos reais, ou seja,
Como para todo
, a imagem é
O domínio de
Como
Passo 3
Vértice e eixo de simetria
Derivando,
Derivando,
e igualando a zero,
dá
. O valor correspondente é
. Logo, o vértice é o ponto
e o eixo de simetria é a reta
Passo 4
Paridade e simetria
Observamos que
Observamos que
logo a função é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 5
Monotonia
Como , temos
- para
: a função é decrescente em
.
- para
: a função é crescente em
.
Como
-
-
Passo 6
Concavidade
A segunda derivada é
A segunda derivada é
portanto a parábola é côncava para cima em todo o domínio.
Passo 7
Interceptos e pontos auxiliares
- Intercepto em : resolver
dá
.
- Intercepto em : em
,
.
Para guiar o esboço, tabulamos alguns pontos:
- Intercepto em
- Intercepto em
Para guiar o esboço, tabulamos alguns pontos:
Passo 8
Esboço do gráfico
- Marque o vértice
. - Marque os pontos
, , , . - Trace uma curva suave unindo esses pontos, simétrica em relação ao eixo
, abrindo para cima e “mais estreita” que (devido ao fator ).
Resposta
O gráfico de
é uma parábola de vértice em
, simétrica ao eixo
, côncava para cima, passando pelos pontos
,
,
,
e com domínio
e imagem
.