Construa os gráficos das funções definidas em mathbb{R} :
y=x^{2}-2 x+4

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função quadrática
y = x^{2} - 2x + 4
O conteúdo envolvido é o estudo de funções polinomiais do segundo grau, em particular como determinar vértice, concavidade, e interceptos para esboçar o gráfico de uma parábola.

Passo 2

Vamos reescrever a função completando o quadrado.
Partimos de
y = x^{2} - 2x + 4
e agrupamos os termos em x:
y = \bigl(x^{2} - 2x + 1\bigr) + 4 - 1
y = (x - 1)^{2} + 3

Passo 3

A forma \,(x-1)^{2}+3 revela imediatamente o vértice e a concavidade:
  • Vértice em \bigl(1,3\bigr), pois o mínimo de (x-1)^{2} é 0.
  • Concavidade para cima (coeficiente de (x-1)^{2} é positivo).

Passo 4

Interceptos com os eixos:
  • Intercepto em y: basta x=0. Então
y(0) = 0^{2} - 2\cdot0 + 4 = 4,
ou seja ponto \,(0,4).
  • Raízes reais: o discriminante é
\Delta = (-2)^{2} - 4\cdot1\cdot4 = 4 - 16 = -12 < 0,
logo não há interseção com o eixo x.

Passo 5

Para esboçar bem a curva, calculamos mais alguns pontos simétricos em relação à reta x=1:
  • Para x=2:
y(2) = 2^{2} - 2\cdot2 + 4 = 4 - 4 + 4 = 4,
ponto \,(2,4).
  • Para x=3:
y(3) = 3^{2} - 2\cdot3 + 4 = 9 - 6 + 4 = 7,
ponto \,(3,7).
  • Simetricamente, para x=-1:
y(-1) = (-1)^{2} - 2(-1) + 4 = 1 + 2 + 4 = 7,
ponto \,(-1,7).

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Traçar o vértice em (1,3).
  • Marcar (0,4) e (2,4) no lado equivalente da parábola.
  • Marcar (3,7) e (-1,7).
  • Ligar suavemente esses pontos, obtendo uma parábola com concavidade para cima, sem cortes no eixo x, e eixo de simetria x=1.

Resposta

O gráfico de
y = x^{2} - 2x + 4
é uma parábola de concavidade para cima, com vértice em \,(1,3), eixo de simetria x=1, intercepto em y no ponto \,(0,4), sem raízes reais, passando ainda por (2,4), (3,7) e (-1,7).

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