Construa os gráficos das funções:
f(x)=\log _{2} \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico de
f(x)=\log_{2}\sqrt{x}
Esse é um problema de transformações de funções logarítmicas. A gente vai usar a propriedade de potência dentro do logaritmo e depois ver como ela afeta o gráfico de y=\log_{2}x.

Passo 2

Usamos a propriedade
\log_{b}(A^{c}) = c\,\log_{b}A
para reescrever
f(x)=\log_{2}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\tfrac12\,\log_{2}x.
Isso mostra que f(x) é exatamente o gráfico de \log_{2}x “comprimido” verticalmente por um fator 1/2.

Passo 3

Lembre o gráfico de y=\log_{2}x:
  • Domínio x>0.
  • Assíntota vertical em x=0.
  • Passa por (1,0), (2,1), (4,2).
Ao comprimir verticalmente por 1/2, mantemos a assíntota e o domínio, mas todo valor de y é dividido por 2.

Passo 4

Aplicando a compressão, obtemos pontos-chave de y=\tfrac12\log_{2}x:
  • Em x=1: f(1)=\tfrac12\cdot0=0 (1,0).
  • Em x=2: f(2)=\tfrac12\cdot1=\tfrac12 (2,\tfrac12).
  • Em x=4: f(4)=\tfrac12\cdot2=1 (4,1).
  • Em x=8: f(8)=\tfrac12\cdot3=\tfrac32 (8,\tfrac32).
Entre esses pontos o gráfico é contínuo e suave, e aproxima-se de -\infty quando x\to0^+.

Resposta

O gráfico de \displaystyle f(x)=\log_{2}\sqrt{x} é o de \log_{2}x comprimido verticalmente por 1/2:
  • Assíntota em x=0.
  • Passa por (1,0), (2,\tfrac12), (4,1), (8,\tfrac32).
  • Para x\to0^+, f(x)\to-\infty, e cresce sem limite quando x\to+\infty.

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