Construa os gráficos das funções:
f(x)=\log _{2} x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função
f(x)=\log_{2}\bigl(x^{2}\bigr).
O conteúdo envolve propriedades de logaritmo (especialmente a propriedade de potência) e análise de domínio, simetria e comportamento assintótico.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio e simplificamos usando a propriedade
\log_{a}(u^{k})=k\log_{a}(u).
Como x^{2}>0 para todo x\neq0, o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}.
Aplicando a propriedade de potência,
f(x)=\log_{2}\bigl(x^{2}\bigr) =2\log_{2}\bigl|x\bigr|.

Passo 3

Da forma \,f(x)=2\log_{2}\!\bigl|x\bigr|\, vemos que a função é par, pois depende de \lvert x\rvert. Logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 4

Vamos identificar pontos notáveis e assíntota:
  1. Interseções com o eixo x:
    \,f(x)=0 quando \log_{2}(x^{2})=0, isto é, x^{2}=1. Logo
x=1\quad\text{ou}\quad x=-1,
com f(\pm1)=0.
2. Pontos de referência em x>0:
f(2)=\log_{2}(2^{2})=2, \quad f\bigl(\tfrac12\bigr)=\log_{2}\bigl(\tfrac14\bigr)=-2, \quad f\bigl(\tfrac14\bigr)=\log_{2}\bigl(\tfrac{1}{16}\bigr)=-4.
Pelas propriedades de paridade, nos mesmos valores de x<0 temos os mesmos f(x).
3. Assíntota vertical em x=0:
\lim_{x\to0^{\pm}}f(x) =\lim_{x\to0^{\pm}}2\log_{2}|x|=-\infty.

Passo 5

Analisando monotonicidade via derivada:
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[2\log_{2}|x|\bigr] =\frac{2}{x\ln2}.
  • Para x>0, f'(x)>0,: ramo crescente de 0 a +\infty.
  • Para x<0, f'(x)<0,: ramo decrescente de -\infty a 0.

Passo 6

Com esses pontos e características, o esboço fica assim:
  • Dois ramos separados pelo eixo y (vertical assíntota em x=0).
  • Em x>0, gráfico similar a \log normal, passando por (\tfrac12,-2), (1,0), (2,2) e subindo para +\infty.
  • Em x<0, espelho do anterior: passa por (-2,2), (-1,0), (-\tfrac12,-2) e cai para -\infty ao se aproximar de 0.

Resposta

O gráfico de f(x)=\log_{2}(x^{2}) tem domínio (-\infty,0)\cup(0,\infty), é par, apresenta assíntota vertical em x=0, interceptos em (\pm1,0) e ramos monotonicamente crescentes para x>0 e decrescentes para x<0, com valores exemplares (2,2), (\tfrac12,-2) e reflexos simétricos para x<0.

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