Construa os gráficos das seguintes funções definidas em \mathbb{R} :
f_{5}(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1, \text { se } x<0 \\\ (x-1)^{2}, \text { se } x \geqslant 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar em \mathbb{R} a função
f_{5}(x)= \begin{cases} x+1, & x<0,\\\ (x-1)^{2}, & x\ge0. \end{cases}
O conteúdo aqui é esboço de função definida por partes: gráfico de reta restrita a um intervalo e gráfico de parábola restrita a outro.

Passo 2

Analisando a parte para x<0:
– A expressão é f(x)=x+1, que é uma reta de inclinação 1 e intercepto 1.
– Para marcar pontos, por exemplo: \,x=-2\implies f(-2)=-2+1=-1, \,x=-1\implies f(-1)=0, \,x\to0^{-}\implies f(0^{-})=1.
– Como o domínio é x<0, em x=0 teremos um ponto aberto em (0,1).

Passo 3

Analisando a parte para x\ge0:
– A expressão é f(x)=(x-1)^{2}, que é uma parábola com vértice em (1,0) e concavidade para cima.
– Pontos notáveis: \,x=0\implies f(0)=(0-1)^{2}=1, ponto fechado em (0,1). \,x=1\implies f(1)=0, vértice em (1,0). \,x=2\implies f(2)=(2-1)^{2}=1.

Passo 4

Esboçando o gráfico:
– Para x<0, desenhe a reta y=x+1 até, mas não incluindo, o ponto (0,1) (ele fica aberto).
– Para x\ge0, desenhe a parábola y=(x-1)^{2} começando pelo ponto fechado (0,1), passando pelo vértice (1,0) e subindo simetricamente.

Resposta

O gráfico de f_{5} é composto por:
  1. Uma reta de equação y=x+1 definida para x<0, com ponto aberto em (0,1).
  2. Uma parábola de equação y=(x-1)^{2} definida para x\ge0, com ponto fechado em (0,1), vértice em (1,0) e simetria em torno da reta x=1.

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