Construa os intervalos de confiança e interprete os resultados.
1.9 Uma amostra de 30 peças, forneceu os seguintes pesos: 250, 287, 307, 265, 289, 309, 267, 291, 311, 269, 293, 315, 271, 293, 319, 275, 298, 322, 277, 301, 324, 281, 303, 328, 283, 306, 335, 284, 307, 339.
Por meio da construção do intervalo de confiança, responder se esta amostra satisfaz a especificação pela qual o peso médio deve ser 300 kg . Utilize \alpha=5 \%. R : [288,33304,93]

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra com n=30 pesos (em kg):
250,\;287,\;307,\;265,\;289,\;309,\;267,\;291,\;311,\;269,\;293,\;315,\;271,\;293,\;319,\;275,\;298,\;322,\;277,\;301,\;324,\;281,\;303,\;328,\;283,\;306,\;335,\;284,\;307,\;339.
O que se pede:
  • Construir um intervalo de confiança para a média verdadeira do peso com nível de confiança 1-\alpha=95\% (ou seja, \alpha=5\%).
  • A partir do intervalo, responder se a amostra satisfaz a especificação de que o peso médio deve ser 300 kg (ou seja, verificar se 300 é compatível com a média ao nível de significância \alpha=5\%).
Informações relevantes dadas:
  • Tamanho da amostra: n=30.
  • Nível de significância: \alpha=0{,}05.
  • Valores observados: listei-os acima e vou usá‑los diretamente nos cálculos a seguir.

Passo 2

Cálculo da média amostral \bar{x}.
Fórmula da média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Soma dos observados (peguei estes números do enunciado):
\sum_{i=1}^{30} x_i = 8899.
Portanto
\bar{x}=\frac{8899}{30}=296{,}6333\ldots
Interpretação curta: \bar{x} é a melhor estimativa pontual da média verdadeira \mu dada a amostra.

Passo 3

Cálculo da variância amostral s^2 e do desvio padrão amostral s.
Fórmula usada (forma computacional estável):
s^2=\frac{1}{n-1}\Biggl(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2\Biggr).
Peguei da conta:
\sum_{i=1}^{30} x_i^2 = 2\,654\,071.
Substituindo:
n\bar{x}^2 = 30\cdot\left(\frac{8899}{30}\right)^2 = 30\cdot\bar{x}^2 \approx 2\,639\,740{,}0333.
\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 \approx 2\,654\,071 - 2\,639\,740{,}0333 = 14\,330{,}9667.
s^2=\frac{14\,330{,}9667}{29}\approx 494{,}1713.
s=\sqrt{s^2}\approx 22{,}23.
Explicação didática: divide‑se por n-1 (não por n) porque estamos estimando a variância da população a partir da amostra — isso corrige o viés (graus de liberdade).

Passo 4

Escolha do método para o intervalo de confiança e fórmula.
Como a variância populacional é desconhecida e foi estimada por s, e a amostra tem tamanho moderado ( n=30), usamos a distribuição t de Student. O intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% para a média \mu é:
\bar{x}\pm t_{n-1,\,1-\alpha/2}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (já calculada);
  • t_{n-1,\,1-\alpha/2} é o quantil da t com n-1 graus de liberdade tal que a área à direita é \alpha/2;
  • s é o desvio padrão amostral;
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra.

Passo 5

Determinar o valor crítico t e calcular a margem de erro.
Graus de liberdade: n-1=29.
Valor crítico (tabela t ou recurso padrão): para \alpha=0{,}05 e df=29,
t_{29,\,0{,}975}\approx 2{,}045.
Cálculo do termo de erro padrão:
\frac{s}{\sqrt{n}} \approx \frac{22{,}23}{\sqrt{30}}=\frac{22{,}23}{5{,}4772}\approx 4{,}058.
Margem de erro:
E = t_{29,\,0{,}975}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2{,}045\cdot 4{,}058 \approx 8{,}299.

Passo 6

Construção do intervalo de confiança e arredondamento final.
Intervalo de confiança de 95\%:
\bar{x}\pm E \quad\Rightarrow\quad 296{,}6333\pm 8{,}299.
Limites:
\text{limite inferior} \approx 296{,}6333 - 8{,}299 = 288{,}334,
\text{limite superior} \approx 296{,}6333 + 8{,}299 = 304{,}932.
Arredondando para duas casas decimais:
\text{IC}_{95\%} \approx [288{,}33;\;304{,}93].

Passo 7

Interpretação do intervalo e conclusão sobre a especificação \mu=300 kg.
  • Interpretação probabilística (modo usual de explicar IC): com base neste procedimento e nesta amostra, tem‑se 95\% de confiança de que o verdadeiro valor da média \mu está entre 288{,}33 kg e 304{,}93 kg. Isso não dá certeza absoluta, mas significa que o intervalo foi construído de forma que, em longo prazo, 95\% de intervalos assim conteriam \mu.
  • Verificação da especificação: a especificação pede que a média seja 300 kg. Observa‑se que 300 está dentro do intervalo [288{,}33;\;304{,}93]. Portanto, aos níveis de confiança/significância adotados ( 95\%/ \alpha=0{,}05), não há evidência para rejeitar que a média verdadeira seja 300 kg — ou em linguagem de teste: um teste bilateral de H_0:\mu=300 ao nível \alpha=0{,}05 não rejeitaria H_0 com base nesta amostra.
Mensagem de incentivo: deu trabalho fazer as contas, mas o resultado é claro — a amostra é compatível com a especificação média 300 kg ao nível de 5\%.

Resposta

Intervalo de confiança de 95\%: [288{,}33;\;304{,}93]
Conclusão sobre a especificação: 300 kg está dentro do intervalo, logo não há evidência para rejeitar que a média seja 300 kg ao nível \alpha=0{,}05.

Exercícios relacionados