Construa os intervalos de confiança e interprete os resultados.
1.9 Uma amostra de 30 peças, forneceu os seguintes pesos: 250, 287, 307, 265, 289, 309, 267, 291, 311, 269, 293, 315, 271, 293, 319, 275, 298, 322, 277, 301, 324, 281, 303, 328, 283, 306, 335, 284, 307, 339.
Por meio da construção do intervalo de confiança, responder se esta amostra satisfaz a especificação pela qual o peso médio deve ser 300 kg . Utilize
.
: [288,33304,93]
1.9 Uma amostra de 30 peças, forneceu os seguintes pesos: 250, 287, 307, 265, 289, 309, 267, 291, 311, 269, 293, 315, 271, 293, 319, 275, 298, 322, 277, 301, 324, 281, 303, 328, 283, 306, 335, 284, 307, 339.
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra com
pesos (em kg):
O que se pede:
- Construir um intervalo de confiança para a média verdadeira do peso com nível de confiança
(ou seja, ). - A partir do intervalo, responder se a amostra satisfaz a especificação de que o peso médio deve ser
kg (ou seja, verificar se é compatível com a média ao nível de significância ).
Informações relevantes dadas:
- Tamanho da amostra:
. - Nível de significância:
. - Valores observados: listei-os acima e vou usá‑los diretamente nos cálculos a seguir.
Passo 2
Cálculo da média amostral
.
Fórmula da média amostral:
Soma dos observados (peguei estes números do enunciado):
Portanto
Interpretação curta:
é a melhor estimativa pontual da média verdadeira
dada a amostra.
Passo 3
Cálculo da variância amostral
e do desvio padrão amostral
.
Fórmula usada (forma computacional estável):
Peguei da conta:
Substituindo:
Explicação didática: divide‑se por
(não por
) porque estamos estimando a variância da população a partir da amostra — isso corrige o viés (graus de liberdade).
Passo 4
Escolha do método para o intervalo de confiança e fórmula.
Como a variância populacional é desconhecida e foi estimada por
, e a amostra tem tamanho moderado (
), usamos a distribuição
de Student. O intervalo de confiança de
para a média
é:
onde:
-
é a média amostral (já calculada); -
é o quantil da com graus de liberdade tal que a área à direita é ; -
é o desvio padrão amostral; -
é a raiz quadrada do tamanho da amostra.
Passo 5
Determinar o valor crítico
e calcular a margem de erro.
Graus de liberdade:
.
Valor crítico (tabela
ou recurso padrão): para
e
,
Cálculo do termo de erro padrão:
Margem de erro:
Passo 6
Construção do intervalo de confiança e arredondamento final.
Intervalo de confiança de
:
Limites:
Arredondando para duas casas decimais:
Passo 7
Interpretação do intervalo e conclusão sobre a especificação
kg.
- Interpretação probabilística (modo usual de explicar IC): com base neste procedimento e nesta amostra, tem‑se
de confiança de que o verdadeiro valor da média está entre kg e kg. Isso não dá certeza absoluta, mas significa que o intervalo foi construído de forma que, em longo prazo, de intervalos assim conteriam . - Verificação da especificação: a especificação pede que a média seja
kg. Observa‑se que está dentro do intervalo . Portanto, aos níveis de confiança/significância adotados ( / ), não há evidência para rejeitar que a média verdadeira seja kg — ou em linguagem de teste: um teste bilateral de ao nível não rejeitaria com base nesta amostra.
Mensagem de incentivo: deu trabalho fazer as contas, mas o resultado é claro — a amostra é compatível com a especificação média
kg ao nível de
.
Resposta
Intervalo de confiança de
:
Conclusão sobre a especificação: kg está dentro do intervalo, logo não há evidência para rejeitar que a média seja
kg ao nível
.
Conclusão sobre a especificação: