Construa os intervalos de confiança e interprete os resultados.
Supondo populações normais, construir o intervalo de confiança para a variância ao nível de 90% para as amostras:
2-2-2-3-3-4-5-5-5-5-6-6-7-7-8.

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de tamanho n e pede que se construa o intervalo de confiança (IC) de nível de 90\% para a variância da população, supondo que a população é normal. Dados da amostra (peguei estes valores do enunciado):
  • Amostra: 2,2,2,3,3,4,5,5,5,5,6,6,7,7,8.
  • Tamanho da amostra: n=15.
  • Nível de confiança: 90\% (logo \alpha=0,10).
O que se pede explicitamente:
  • Construir o intervalo de confiança de 90\% para a variância populacional \sigma^2.
  • Interpretar o resultado (o que significa o IC).

Passo 2

Fórmula e ideia básica (explicada devagarinho).
  • Para uma amostra de uma população normal, vale a relação
\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim \chi^{2}_{\nu},
onde:
  • S^{2} é a variância amostral (estimador de \sigma^{2}),
  • \sigma^{2} é a variância populacional desconhecida,
  • \nu=n-1 são os graus de liberdade,
  • \chi^{2}_{\nu} é a distribuição qui-quadrado com \nu graus de liberdade.
  • Usando quantis da qui-quadrado, um IC bilateral de nível 1-\alpha para \sigma^{2} é
\left(\dfrac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\;\nu}},\;\dfrac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\;\nu}}\right).
Aqui:
  • \chi^{2}_{p,\nu} significa o quantil tal que P(\chi^{2}_{\nu}\le \chi^{2}_{p,\nu})=p.
  • No nosso caso \alpha=0{,}10, então \alpha/2=0{,}05 e 1-\alpha/2=0{,}95.
  • Vamos aplicar essa fórmula com \nu=n-1=14. Próximo passo: calcular S^{2}.

Passo 3

Cálculo da média amostral (passo a passo).
  • Soma dos valores (peguei os números do enunciado):
    • 3 ocorrências de 2 \Rightarrow 3\cdot2=6.
    • 2 ocorrências de 3 \Rightarrow 2\cdot3=6.
    • 1 ocorrência de 4 \Rightarrow 1\cdot4=4.
    • 4 ocorrências de 5 \Rightarrow 4\cdot5=20.
    • 2 ocorrências de 6 \Rightarrow 2\cdot6=12.
    • 2 ocorrências de 7 \Rightarrow 2\cdot7=14.
    • 1 ocorrência de 8 \Rightarrow 1\cdot8=8.
  • Soma total: 6+6+4+20+12+14+8=70.
  • Média amostral:
\bar{X}=\dfrac{70}{15}=\dfrac{14}{3}\approx 4{,}6667.

Passo 4

Cálculo da soma dos quadrados dos desvios (SS) detalhado.
  • Para cada valor x_i, calcule (x_i-\bar{X})^{2}. Agrupando por valores repetidos:
    • Para x=2: x-\bar{X}=2-\tfrac{14}{3}=-\tfrac{8}{3}, (x-\bar{X})^{2}=\tfrac{64}{9}. Como há 3 valores 2, contribuição total 3\cdot\tfrac{64}{9}=\tfrac{192}{9}.
    • Para x=3: (3-\tfrac{14}{3})^{2}=\tfrac{25}{9}. Duas ocorrências \Rightarrow \tfrac{50}{9}.
    • Para x=4: (4-\tfrac{14}{3})^{2}=\tfrac{4}{9}. Uma ocorrência \Rightarrow \tfrac{4}{9}.
    • Para x=5: (5-\tfrac{14}{3})^{2}=\tfrac{1}{9}. Quatro ocorrências \Rightarrow \tfrac{4}{9}.
    • Para x=6: (6-\tfrac{14}{3})^{2}=\tfrac{16}{9}. Duas ocorrências \Rightarrow \tfrac{32}{9}.
    • Para x=7: (7-\tfrac{14}{3})^{2}=\tfrac{49}{9}. Duas ocorrências \Rightarrow \tfrac{98}{9}.
    • Para x=8: (8-\tfrac{14}{3})^{2}=\tfrac{100}{9}. Uma ocorrência \Rightarrow \tfrac{100}{9}.
  • Somando as contribuições (todas em denominação 9):
\text{SS}=\frac{192+50+4+4+32+98+100}{9}=\frac{480}{9}=\frac{160}{3}\approx 53{,}3333.
Observação: \text{SS}=(n-1)S^{2}.

Passo 5

Cálculo da variância amostral S^{2} e do desvio-padrão amostral S.
  • Como \nu=n-1=14,
S^{2}=\dfrac{\text{SS}}{n-1}=\dfrac{160/3}{14}=\dfrac{160}{42}=\dfrac{80}{21}\approx 3{,}8095.
  • Desvio-padrão amostral:
S=\sqrt{S^{2}}=\sqrt{\dfrac{80}{21}}\approx 1{,}9510.

Passo 6

Valores críticos da qui-quadrado (usei tabela da distribuição \chi^{2} para \nu=14):
  • \chi^{2}_{1-\alpha/2,\;\nu}=\chi^{2}_{0{,}95,\;14}\approx 23{,}6848.
  • \chi^{2}_{\alpha/2,\;\nu}=\chi^{2}_{0{,}05,\;14}\approx 6{,}5706.
    ( estes números são quantis tabelados da distribuição qui-quadrado para \nu=14 ).

Passo 7

Montagem do intervalo de confiança para \sigma^{2} e cálculo numérico.
  • Usando a fórmula
\left(\dfrac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\;\nu}},\;\dfrac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\;\nu}}\right) = \left(\dfrac{\text{SS}}{\chi^{2}_{0{,}95,\;14}},\;\dfrac{\text{SS}}{\chi^{2}_{0{,}05,\;14}}\right),
onde \text{SS}=\dfrac{160}{3}\approx 53{,}3333.
  • Cálculo do limite inferior:
\text{Limite inferior}=\dfrac{160/3}{23{,}6848}\approx \dfrac{53{,}3333}{23{,}6848}\approx 2{,}252.
  • Cálculo do limite superior:
\text{Limite superior}=\dfrac{160/3}{6{,}5706}\approx \dfrac{53{,}3333}{6{,}5706}\approx 8{,}115.
  • Portanto, o intervalo de confiança de 90\% para a variância \sigma^{2} é aproximadamente
\bigl(2{,}252,\;8{,}115\bigr).

Passo 8

Intervalo de confiança para o desvio-padrão \sigma e interpretação.
  • Tirando raiz quadrada dos limites para obter o IC para \sigma:
\bigl(\sqrt{2{,}252},\;\sqrt{8{,}115}\bigr)\approx \bigl(1{,}501,\;2{,}849\bigr).
  • Interpretação (em linguagem simples):
    • Podemos dizer: “Com 90\% de confiança, a variância populacional \sigma^{2} está entre aproximadamente 2{,}252 e 8{,}115.”
    • Equivalentemente, “Com 90\% de confiança, o desvio-padrão populacional \sigma está entre aproximadamente 1{,}501 e 2{,}849.”
    • Isso significa que, se repetíssemos amostragens independentes do mesmo tamanho e construíssemos ICs da mesma forma, cerca de 90\% desses intervalos conteriam o verdadeiro valor de \sigma^{2}.
  • Dica prática para prova: calcule primeiro \bar{X}, depois a SS agrupando valores iguais quando possível (economiza conta), use \text{SS}=(n-1)S^{2} diretamente na fórmula do IC e consulte a tabela de \chi^{2} para \nu=n-1 e \alpha/2.

Resposta

\text{IC}_{90\%}\\ \text{para}\\ \sigma^{2}:\\ (2{,}252,\\\ 8{,}115)
\text{IC}_{90\%}\\ \text{para}\\ \sigma:\\ (1{,}501,\\\ 2{,}849)

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