Construa os intervalos de confiança e interprete os resultados.
Supondo populações normais, construir o intervalo de confiança para a variância ao nível de 90% para as amostras:
.
Supondo populações normais, construir o intervalo de confiança para a variância ao nível de 90% para as amostras:
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra de tamanho
e pede que se construa o intervalo de confiança (IC) de nível de
para a variância da população, supondo que a população é normal. Dados da amostra (peguei estes valores do enunciado):
- Amostra:
. - Tamanho da amostra:
. - Nível de confiança:
(logo ).
O que se pede explicitamente:
- Construir o intervalo de confiança de
para a variância populacional . - Interpretar o resultado (o que significa o IC).
Passo 2
Fórmula e ideia básica (explicada devagarinho).
- Para uma amostra de uma população normal, vale a relação
onde:
-
é a variância amostral (estimador de ), -
é a variância populacional desconhecida, -
são os graus de liberdade, -
é a distribuição qui-quadrado com graus de liberdade. - Usando quantis da qui-quadrado, um IC bilateral de nível
para é
Aqui:
-
significa o quantil tal que . - No nosso caso
, então e . - Vamos aplicar essa fórmula com
. Próximo passo: calcular .
Passo 3
Cálculo da média amostral (passo a passo).
- Soma dos valores (peguei os números do enunciado):
-
ocorrências de . -
ocorrências de . -
ocorrência de . -
ocorrências de . -
ocorrências de . -
ocorrências de . -
ocorrência de .
-
- Soma total:
. - Média amostral:
Passo 4
Cálculo da soma dos quadrados dos desvios (SS) detalhado.
- Para cada valor
, calcule . Agrupando por valores repetidos: - Para
: , . Como há 3 valores , contribuição total . - Para
: . Duas ocorrências . - Para
: . Uma ocorrência . - Para
: . Quatro ocorrências . - Para
: . Duas ocorrências . - Para
: . Duas ocorrências . - Para
: . Uma ocorrência .
- Para
- Somando as contribuições (todas em denominação
):
Observação:
.
Passo 5
Cálculo da variância amostral
e do desvio-padrão amostral
.
- Como
,
- Desvio-padrão amostral:
Passo 6
Valores críticos da qui-quadrado (usei tabela da distribuição
para
):
-
-
( estes números são quantis tabelados da distribuição qui-quadrado para).
Passo 7
Montagem do intervalo de confiança para
e cálculo numérico.
- Usando a fórmula
onde
.
- Cálculo do limite inferior:
- Cálculo do limite superior:
- Portanto, o intervalo de confiança de
para a variância é aproximadamente
Passo 8
Intervalo de confiança para o desvio-padrão
e interpretação.
- Tirando raiz quadrada dos limites para obter o IC para
:
- Interpretação (em linguagem simples):
- Podemos dizer: “Com
de confiança, a variância populacional está entre aproximadamente e .” - Equivalentemente, “Com
de confiança, o desvio-padrão populacional está entre aproximadamente e .” - Isso significa que, se repetíssemos amostragens independentes do mesmo tamanho e construíssemos ICs da mesma forma, cerca de
desses intervalos conteriam o verdadeiro valor de .
- Podemos dizer: “Com
- Dica prática para prova: calcule primeiro
, depois a SS agrupando valores iguais quando possível (economiza conta), use diretamente na fórmula do IC e consulte a tabela de para e .