Construa as representações decimais das seguintes frações, utilizando o algoritmo da divisão:
Passo 1
O enunciado pede para construir a representação decimal da fração
usando o algoritmo da divisão.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Numerador:
.\n- Denominador: .\nO objetivo: obter a forma decimal (término finito ou periódica) de , explicando passo a passo o algoritmo da divisão.
Passo 2
Breve explicação do algoritmo da divisão para obter casas decimais quando o numerador é menor que o denominador:
- Se o numerador é menor que o denominador, a parte inteira da divisão é
. Coloca-se vírgula e acrescentam-se zeros ao numerador (isto é, multiplica-se o resto por ) para obter os dígitos decimais. - A cada passo: divide-se o novo número por
, escreve-se o quociente (um dígito), e guarda-se o resto. Em seguida multiplica-se esse resto por e repete-se. - Há duas possibilidades finais:
- Em algum passo o resto fica
: a expansão decimal termina (é finita). - O resto volta a repetir um valor já visto: a partir desse ponto os dígitos repetem e a expansão é periódica.
- Em algum passo o resto fica
- Observação útil: os restos possíveis ao dividir por
são . Portanto, se o resto não for , ele necessariamente se repetirá em no máximo passos, e a decimal será periódica.
Passo 3
Aplicando o algoritmo à fração
:
- Primeiro passo: dividir
por . Como , a parte inteira é e sobra resto . Escreve-se e prossegue-se com casas decimais. - Multiplica-se o resto por
: . - Divide-se
por : o quociente é (porque ) e o resto é . - Anota-se o primeiro dígito decimal:
. Agora o resto voltou a ser .
Passo 4
Interpretação do que aconteceu:
- Após produzir o primeiro dígito decimal
, o resto voltou a ser exatamente , que já tínhamos antes. Pelo princípio explicado no Passo 2, isso indica que o processo vai repetir indefinidamente os mesmos dígitos. - Logo, todos os dígitos decimais serão
repetidos infinitamente. Em notação decimal periódica escrevemos isso como ou como .
Passo 5
Verificação algébrica rápida (para confirmar que
):
- Escrever
como soma de uma série geométrica:
- Soma da série geométrica com primeiro termo
e razão :
- Portanto a representação decimal encontrada está correta.
Passo 6
Dicas rápidas para a prova:
- Quando o denominador é
e o numerador é ou , já decorar: e . - Sempre observe os restos durante a divisão: resto
→ termina; resto repetido → periódico. Isso permite identificar o período rapidamente sem fazer muitos passos.