Construa as representações decimais das seguintes frações, utilizando o algoritmo da divisão:
\frac{2}{3}

Passo 1

O enunciado pede para construir a representação decimal da fração \dfrac{2}{3} usando o algoritmo da divisão.
Informações dadas:
  • Numerador: \,2.\n- Denominador: \,3.\nO objetivo: obter a forma decimal (término finito ou periódica) de \dfrac{2}{3}, explicando passo a passo o algoritmo da divisão.

Passo 2

Breve explicação do algoritmo da divisão para obter casas decimais quando o numerador é menor que o denominador:
  • Se o numerador é menor que o denominador, a parte inteira da divisão é 0. Coloca-se vírgula e acrescentam-se zeros ao numerador (isto é, multiplica-se o resto por 10) para obter os dígitos decimais.
  • A cada passo: divide-se o novo número por 3, escreve-se o quociente (um dígito), e guarda-se o resto. Em seguida multiplica-se esse resto por 10 e repete-se.
  • Há duas possibilidades finais:
    1. Em algum passo o resto fica 0: a expansão decimal termina (é finita).
    2. O resto volta a repetir um valor já visto: a partir desse ponto os dígitos repetem e a expansão é periódica.
  • Observação útil: os restos possíveis ao dividir por 3 são 0,1,2. Portanto, se o resto não for 0, ele necessariamente se repetirá em no máximo 2 passos, e a decimal será periódica.

Passo 3

Aplicando o algoritmo à fração \dfrac{2}{3}:
  • Primeiro passo: dividir 2 por 3. Como 2<3, a parte inteira é 0 e sobra resto 2. Escreve-se 0{,} e prossegue-se com casas decimais.
  • Multiplica-se o resto por 10: 2\cdot10=20.
  • Divide-se 20 por 3: o quociente é 6 (porque 6\cdot3=18) e o resto é 20-18=2.
  • Anota-se o primeiro dígito decimal: 6. Agora o resto voltou a ser 2.

Passo 4

Interpretação do que aconteceu:
  • Após produzir o primeiro dígito decimal 6, o resto voltou a ser exatamente 2, que já tínhamos antes. Pelo princípio explicado no Passo 2, isso indica que o processo vai repetir indefinidamente os mesmos dígitos.
  • Logo, todos os dígitos decimais serão 6 repetidos infinitamente. Em notação decimal periódica escrevemos isso como \,0{,}\overline{6} ou como \,0{,}666\ldots.

Passo 5

Verificação algébrica rápida (para confirmar que \,0{,}\overline{6}=\dfrac{2}{3}):
  • Escrever \,0{,}666\ldots como soma de uma série geométrica:
0{,}666\ldots = \sum_{k=1}^{\infty} 6\cdot 10^{-k}.
  • Soma da série geométrica com primeiro termo a=6\cdot10^{-1} e razão r=10^{-1}:
\sum_{k=1}^{\infty} 6\cdot 10^{-k} = \frac{6\cdot 10^{-1}}{1-10^{-1}} = \frac{6/10}{9/10} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}.
  • Portanto a representação decimal encontrada está correta.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova:
  • Quando o denominador é 3 e o numerador é 1 ou 2, já decorar: \dfrac{1}{3}=0{,}\overline{3} e \dfrac{2}{3}=0{,}\overline{6}.
  • Sempre observe os restos durante a divisão: resto 0 → termina; resto repetido → periódico. Isso permite identificar o período rapidamente sem fazer muitos passos.

Resposta

\,0{,}\overline{6}

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