Efetue as seguintes operações com intervalos:
\mathbb{R}-(1, \infty);

Passo 1

O enunciado pede para efetuar a operação entre conjuntos
\mathbb{R}-(1,\infty).
Informações dadas:
  • \mathbb{R} é o conjunto de todos os números reais.
  • (1,\infty) é o intervalo aberto que contém todos os números reais estritamente maiores que 1.
  • A operação é a diferença de conjuntos: retirar de \mathbb{R} todos os elementos que pertencem a (1,\infty).

Passo 2

Definição importante (explicação didática): a diferença de conjuntos A\setminus B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Em símbolos:
A\setminus B=\{x\in A \mid x\notin B\}.
Aqui vamos aplicar isso com A=\mathbb{R} e B=(1,\infty).

Passo 3

Analisar genericamente um número real x. Queremos caracterizar os x que ficam em \mathbb{R}\setminus(1,\infty). Pela definição:
x\in\mathbb{R}\setminus(1,\infty)\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\mathbb{R}\\ \text{ e }\\ x\notin(1,\infty).
Como todo x real já satisfaz x\in\mathbb{R}, a condição essencial é x\notin(1,\infty). O conjunto (1,\infty) contém exatamente os números com x>1. Logo
x\notin(1,\infty)\quad\Longleftrightarrow\quad x\le 1.

Passo 4

Converter a condição x\le 1 em notação de intervalo. O conjunto de todos os reais menores ou iguais a 1 é o intervalo
(-\infty,1].
Portanto
\mathbb{R}\setminus(1,\infty)=(-\infty,1].

Passo 5

Checagem com exemplos (pra fixar e ganhar confiança):
  • x=2: tem 2>1, então 2\in(1,\infty) e portanto 2\notin\mathbb{R}\setminus(1,\infty).
  • x=1: tem 1\not>1, logo 1\notin(1,\infty) e portanto 1\in\mathbb{R}\setminus(1,\infty).
  • x=0: tem 0\le1, então 0\in(-\infty,1] e também 0\in\mathbb{R}\setminus(1,\infty).

Resposta

(-\infty,1]

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