Construa uma tabela-verdade para cada uma destas proposições compostas.
(p \oplus q) \wedge(p \oplus \neg q)

Passo 1

O enunciado pede: construir a tabela-verdade da proposição composta
(p \oplus q) \wedge (p \oplus \neg q).
Informações relevantes dadas:
  • As proposições atômicas são p e q.
  • Deve-se avaliar a expressão para todas as combinações possíveis de valores de verdade de p e q (cada um pode ser V para verdadeiro ou F para falso).
  • Resultado esperado: tabela com as colunas intermediárias necessárias (por exemplo \neg q, p\oplus q, p\oplus\neg q) e a coluna final (p \oplus q) \wedge (p \oplus \neg q).

Passo 2

Organização das linhas da tabela-verdade (ordem padrão que vou usar):
(p,q) = (V,V),\\ (V,F),\\ (F,V),\\ (F,F).
Explicação rápida dos conectivos que vamos usar (com exemplos simples):
  • Negação: \neg q é V quando q é F, e F quando q é V.
  • Disjunção exclusiva ( \oplus): a\oplus b é V exatamente quando a e b têm valores diferentes; é F quando são iguais. Uma forma alternativa (útil para entender) é
a\oplus b \equiv (a\lor b)\land \neg(a\land b).
  • Conjunção ( \wedge): x\wedge y é V só se ambos x e y forem V; caso contrário é F.

Passo 3

Vou calcular as colunas intermediárias passo a passo para cada linha. Primeiro, para cada par (p,q), calculo \neg q. Em seguida calculo p\oplus q e p\oplus\neg q. Por fim faço a conjunção entre essas duas últimas colunas.

Passo 4

Cálculo de \neg q linha a linha:
  • Para (p,q)=(V,V): q=V então \neg q = F.
  • Para (p,q)=(V,F): q=F então \neg q = V.
  • Para (p,q)=(F,V): q=V então \neg q = F.
  • Para (p,q)=(F,F): q=F então \neg q = V.

Passo 5

Cálculo de p\oplus q usando a regra “é V quando p e q são diferentes”:
  • (p,q)=(V,V)\Rightarrow p\oplus q = F (iguais).
  • (p,q)=(V,F)\Rightarrow p\oplus q = V (diferentes).
  • (p,q)=(F,V)\Rightarrow p\oplus q = V (diferentes).
  • (p,q)=(F,F)\Rightarrow p\oplus q = F (iguais).

Passo 6

Cálculo de p\oplus\neg q usando os valores de \neg q que já obtivemos:
  • (p,q)=(V,V) tem \neg q=F, então p\oplus\neg q = V (porque V vs F são diferentes).
  • (p,q)=(V,F) tem \neg q=V, então p\oplus\neg q = F (porque V vs V são iguais).
  • (p,q)=(F,V) tem \neg q=F, então p\oplus\neg q = F (porque F vs F são iguais).
  • (p,q)=(F,F) tem \neg q=V, então p\oplus\neg q = V (porque F vs V são diferentes).

Passo 7

Agora faço a conjunção final linha a linha:
(p\oplus q)\wedge(p\oplus\neg q).
Usando os valores das duas colunas:
  • (p,q)=(V,V): p\oplus q = F, p\oplus\neg q = V \Rightarrow F\wedge V = F.
  • (p,q)=(V,F): p\oplus q = V, p\oplus\neg q = F \Rightarrow V\wedge F = F.
  • (p,q)=(F,V): p\oplus q = V, p\oplus\neg q = F \Rightarrow V\wedge F = F.
  • (p,q)=(F,F): p\oplus q = F, p\oplus\neg q = V \Rightarrow F\wedge V = F.
Observação: em todas as quatro linhas o valor final é F. Isso significa que a fórmula é sempre falsa (é uma contradição).

Passo 8

Tabela-verdade completa (colunas intermediárias e coluna final):
\begin{array}{cc|c|c|c} p & q & \neg q & p\oplus q & p\oplus\neg q \\\ \hline V & V & F & F & V \\\ V & F & V & V & F \\\ F & V & F & V & F \\\ F & F & V & F & V \end{array} \qquad \begin{array}{c} \text{Coluna final:}\\\ (p\oplus q)\wedge(p\oplus\neg q)\\\ \hline F\\\ F\\\ F\\\ F \end{array}

Resposta

\begin{array}{cc|c|c|c|c} p & q & \neg q & p\oplus q & p\oplus\neg q & (p\oplus q)\wedge(p\oplus\neg q)\\\ \hline V & V & F & F & V & F\\\ V & F & V & V & F & F\\\ F & V & F & V & F & F\\\ F & F & V & F & V & F \end{array}

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