Construa uma tabela-verdade para cada uma destas proposições compostas.
Passo 1
O enunciado pede: construir a tabela-verdade da proposição composta
Informações relevantes dadas:
- As proposições atômicas são
e . - Deve-se avaliar a expressão para todas as combinações possíveis de valores de verdade de
e (cada um pode ser para verdadeiro ou para falso). - Resultado esperado: tabela com as colunas intermediárias necessárias (por exemplo
, , ) e a coluna final .
Passo 2
Organização das linhas da tabela-verdade (ordem padrão que vou usar):
Explicação rápida dos conectivos que vamos usar (com exemplos simples):
- Negação:
é quando é , e quando é . - Disjunção exclusiva (
): é exatamente quando e têm valores diferentes; é quando são iguais. Uma forma alternativa (útil para entender) é
- Conjunção (
): é só se ambos e forem ; caso contrário é .
Passo 3
Vou calcular as colunas intermediárias passo a passo para cada linha. Primeiro, para cada par
, calculo
. Em seguida calculo
e
. Por fim faço a conjunção entre essas duas últimas colunas.
Passo 4
Cálculo de
linha a linha:
- Para
: então . - Para
: então . - Para
: então . - Para
: então .
Passo 5
Cálculo de
usando a regra “é
quando
e
são diferentes”:
-
(iguais). -
(diferentes). -
(diferentes). -
(iguais).
Passo 6
Cálculo de
usando os valores de
que já obtivemos:
-
tem , então (porque vs são diferentes). -
tem , então (porque vs são iguais). -
tem , então (porque vs são iguais). -
tem , então (porque vs são diferentes).
Passo 7
Agora faço a conjunção final linha a linha:
Usando os valores das duas colunas:
-
: , . -
: , . -
: , . -
: , .
Observação: em todas as quatro linhas o valor final é
. Isso significa que a fórmula é sempre falsa (é uma contradição).
Passo 8
Tabela-verdade completa (colunas intermediárias e coluna final):