Construa uma tabela-verdade para cada uma destas proposições compostas.
(p \oplus q) \vee(p \oplus \neg q)

Passo 1

O enunciado pede que se construa a tabela-verdade da proposição composta \,(p \oplus q) \vee (p \oplus \neg q)\,.\n
Informações dadas:
  • As variáveis proposicionais são p e q.
  • A expressão a avaliar é \,(p \oplus q) \vee (p \oplus \neg q)\,.
  • Quero uma tabela-verdade completa (todas as combinações de p e q).

Passo 2

Vou explicar os conectivos que aparecem, de modo bem didático e sem pular etapas.
  • Negação: \neg q\) é verdadeira quando \(q\) é falsa, e falsa quando \(q\) é verdadeira. Em símbolos: \[\neg q = \begin{cases} \text{V} &\text{se } q=\text{F},\\[4pt] \text{F} &\text{se } q=\text{V}. \end{cases}
  • Disjunção (ou): A \vee B\] é verdadeira quando pelo menos uma entre \(A e B é verdadeira; é falsa somente se ambas forem falsas.
  • Ou-exclusivo ( \oplus): A \oplus B é verdadeira exatamente quando A e B têm valores diferentes (um verdadeiro e outro falso). Em forma equivalente:
    A \oplus B \equiv (A \wedge \neg B)\\ \vee\\ (\neg A \wedge B).
    Vou usar essa ideia: para avaliar p \oplus q olho se p e q são diferentes; se forem diferentes então p\oplus q=\text{V}, senão =\text{F}.]

Passo 3

Plano para construir a tabela-verdade passo a passo:
  • Vou listar as 4 combinações possíveis de p e q: (\text{V},\text{V}),(\text{V},\text{F}),(\text{F},\text{V}),(\text{F},\text{F}).
  • Para cada linha calculo em sequência:
    1. \neg q,
    2. p \oplus q,
    3. p \oplus \neg q,
    4. (p \oplus q) \vee (p \oplus \neg q).
  • Vou mostrar os cálculos explícitos para cada linha, explicando por que cada valor é V ou F.

Passo 4

Linha 1: p=\text{V},\\ q=\text{V}.
  • \neg q=\text{F} porque q é V.
  • p \oplus q: aqui p e q são ambos V, logo não são diferentes, portanto p \oplus q=\text{F}.
  • p \oplus \neg q: como \neg q=\text{F} e p=\text{V}, eles são diferentes, então p \oplus \neg q=\text{V}.
  • Disjunção final: (p \oplus q) \vee (p \oplus \neg q)=\text{F} \vee \text{V}=\text{V}.

Passo 5

Linha 2: p=\text{V},\\ q=\text{F}.
  • \neg q=\text{V} porque q é F.
  • p \oplus q: p=\text{V} e q=\text{F} são diferentes, então p \oplus q=\text{V}.
  • p \oplus \neg q: aqui \neg q=\text{V} e p=\text{V} são iguais, então p \oplus \neg q=\text{F}.
  • Disjunção final: (p \oplus q) \vee (p \oplus \neg q)=\text{V} \vee \text{F}=\text{V}.

Passo 6

Linha 3: p=\text{F},\\ q=\text{V}.
  • \neg q=\text{F}.
  • p \oplus q: p=\text{F} e q=\text{V} são diferentes, então p \oplus q=\text{V}.
  • p \oplus \neg q: \neg q=\text{F} e p=\text{F} são iguais, então p \oplus \neg q=\text{F}.
  • Disjunção final: (p \oplus q) \vee (p \oplus \neg q)=\text{V} \vee \text{F}=\text{V}.

Passo 7

Linha 4: p=\text{F},\\ q=\text{F}.
  • \neg q=\text{V}.
  • p \oplus q: p=\text{F} e q=\text{F} são iguais, então p \oplus q=\text{F}.
  • p \oplus \neg q: \neg q=\text{V} e p=\text{F} são diferentes, então p \oplus \neg q=\text{V}.
  • Disjunção final: (p \oplus q) \vee (p \oplus \neg q)=\text{F} \vee \text{V}=\text{V}.

Passo 8

Resumo e interpretação lógica (uma pequena aula extra sobre simplificação algébrica):
  • Observando as quatro linhas, a coluna final deu sempre \text{V}. Isso indica que a proposição é verdadeira em todas as interpretações — ou seja, é uma tautologia.
  • Posso também mostrar a simplificação algébrica usando a equivalência de \oplus: \begin{aligned} (p \oplus q) \vee (p \oplus \neg q) &= \big[(p\wedge\neg q)\vee(\neg p\wedge q)\big] \vee \big[(p\wedge q)\vee(\neg p\wedge\neg q)\big]\\[4pt] &= (p\wedge\neg q)\vee(p\wedge q)\vee(\neg p\wedge q)\vee(\neg p\wedge\neg q)\\[4pt] &= p\wedge(\neg q\vee q)\\ \vee\\ \neg p\wedge(q\vee\neg q)\\[4pt] &= p\wedge\text{T}\\ \vee\\ \neg p\wedge\text{T}\\[4pt] &= p \vee \neg p\\[4pt] &= \text{T}. \end{aligned}Aqui usei as leis distributiva e o fato de que \neg q\vee q=\text{T} (princípio da exclusão do terceiro). Assim a expressão é identicamente verdadeira.]

Resposta

p\quad q\quad \neg q\quad p\oplus q\quad p\oplus\neg q\quad (p\oplus q)\vee(p\oplus\neg q)\n
\text{V}\quad \text{V}\quad \text{F}\quad \text{F}\quad \text{V}\quad \text{V}\n
\text{V}\quad \text{F}\quad \text{V}\quad \text{V}\quad \text{F}\quad \text{V}\n
\text{F}\quad \text{V}\quad \text{F}\quad \text{V}\quad \text{F}\quad \text{V}\n
\text{F}\quad \text{F}\quad \text{V}\quad \text{F}\quad \text{V}\quad \text{V}\n
(Todas as entradas da última coluna são \text{V}; a proposição é uma tautologia.)

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