Construir as linhas de nível das funções dadas e verificar o caracter das superfícies representadas por estas funções:
z=\sqrt{x y}

Passo 1

O enunciado pede as curvas de nível da função \r
\;z = \sqrt{x\,y}\r
e, em seguida, classificar a superfície dada por esse gráfico. O conteúdo envolvido é estudo de curvas de nível em \mathbb{R}^2 e reconhecimento de superfícies quádricas em \mathbb{R}^3. Precisaremos: \r
– Determinar o domínio de \sqrt{x\,y}. \r
– Escrever a equação das curvas de nível z=k. \r
– Reconhecer a forma da superfície ao elevar ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, o domínio da função exige o radicando não negativo: \r
\;x\,y \;\ge\;0. \r
Isso significa que (x,y) está no primeiro ou no terceiro quadrante (ou sobre os eixos). Além disso, como raiz quadrada retorna valores não negativos, temos \r
\;z \;\ge\;0.

Passo 3

Para construir as curvas de nível, fixamos z=k, com k\ge0. Assim \r
\;\sqrt{x\,y} \;=\; k\quad\Longrightarrow\quad x\,y \;=\; k^2. \r
Em particular: \r
– Se k>0, então \r
\;x\,y = k^2. \r
– Se k=0, então \r
\;x\,y = 0, \r
isto é, a união dos eixos x=0 e y=0.

Passo 4

Analisando \;x\,y = k^2 para k>0: trata-se de hipérbolas de equação canônica, cujas assimptotas são os eixos x e y. Como o domínio é xy\ge0, vemos apenas os ramos em que x e y têm o mesmo sinal, ou seja, um ramo no primeiro quadrante e outro no terceiro quadrante. No caso k=0, a curva de nível degenera em duas retas (os eixos).

Passo 5

Para classificar a superfície em \mathbb{R}^3, elevamos ao quadrado a definição de z: \r
\;z^2 = x\,y. \r
Essa é a equação de um cone quádruplo (superfície quádica homogênea de segundo grau) com vértice na origem. O gráfico de z = \sqrt{x\,y} corresponde apenas à “folha” superior desse cone (onde z\ge0). Cones são superfícies regradas (passa uma reta geratriz por cada ponto) e não cilíndricas nem parabólicas.

Resposta

As curvas de nível de z=\sqrt{x\,y} são \r
\;x\,y = k^2,\quad k>0\quad(\text{hipérbolas nos quadrantes I e III}),é \r
e para k=0 a união dos eixos x=0 e y=0. A superfície é o ramo superior do cone quadrático \r
\;z^2 = x\,y, \r
logo é um cone (superfície regrada) com vértice na origem.

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