Construir as linhas de nível das funções dadas e verificar o caracter das superfícies representadas por estas funções:
Passo 1
O enunciado pede as curvas de nível da função \r
e, em seguida, classificar a superfície dada por esse gráfico. O conteúdo envolvido é estudo de curvas de nível em
e reconhecimento de superfícies quádricas em
. Precisaremos: \r
– Determinar o domínio de . \r
– Escrever a equação das curvas de nível . \r
– Reconhecer a forma da superfície ao elevar ao quadrado.
– Determinar o domínio de
– Escrever a equação das curvas de nível
– Reconhecer a forma da superfície ao elevar ao quadrado.
Passo 2
Primeiro, o domínio da função exige o radicando não negativo: \r
Isso significa que
está no primeiro ou no terceiro quadrante (ou sobre os eixos). Além disso, como raiz quadrada retorna valores não negativos, temos \r
Passo 3
Para construir as curvas de nível, fixamos
, com
. Assim \r
Em particular: \r
– Se , então \r
– Se
– Se
, então \r
isto é, a união dos eixos
e
.
Passo 4
Analisando
para
: trata-se de hipérbolas de equação canônica, cujas assimptotas são os eixos
e
. Como o domínio é
, vemos apenas os ramos em que
e
têm o mesmo sinal, ou seja, um ramo no primeiro quadrante e outro no terceiro quadrante. No caso
, a curva de nível degenera em duas retas (os eixos).
Passo 5
Para classificar a superfície em
, elevamos ao quadrado a definição de
: \r
Essa é a equação de um cone quádruplo (superfície quádica homogênea de segundo grau) com vértice na origem. O gráfico de
corresponde apenas à “folha” superior desse cone (onde
). Cones são superfícies regradas (passa uma reta geratriz por cada ponto) e não cilíndricas nem parabólicas.
Resposta
As curvas de nível de
são \r
e para
a união dos eixos
e
. A superfície é o ramo superior do cone quadrático \r
logo é um cone (superfície regrada) com vértice na origem.