Construir as linhas de nível das funções dadas e verificar o caracter das superfícies representadas por estas funções:
Passo 1
O enunciado pede para traçar as linhas de nível da função
e, com isso, determinar o “formato” da superfície em
. Vamos usar o conceito de linha de nível (contorno) e lembrar que, em termos de geometria de superfícies, a soma de quadrados gera um paraboloide.
Passo 2
Para construir a linha de nível de altura
, impomos
Esse é o lugar geométrico dos pontos
no plano cuja soma dos quadrados vale exatamente
.
Passo 3
Analisando os casos de
:
- Se
, não há solução real (nenhum ponto). - Se
, a equação vira
cujo único ponto é
.
- Se
, obtemos
que descreve um círculo centrado na origem de raio
. À medida que
cresce, as linhas de nível são círculos concêntricos de raio cada vez maior.
Passo 4
Para classificar a superfície
: basta notar que é um polinômio de segundo grau em
e
com coeficientes positivos. Calculando a forma quadrática associada (ou o Hessiano), temos valores próprios todos positivos, o que implica que a superfície é um paraboloide elíptico. Em palavras de amigo: é aquele “bowl” que abre para cima, com vértice no ponto
.
Resposta
As linhas de nível são dadas por
isto é, círculos de raio
centrados na origem (nenhuma linha para
). A superfície é um paraboloide elíptico que se abre para cima, com vértice em
.