Construir as linhas de nível das funções dadas e verificar o caracter das superfícies representadas por estas funções:
z=x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para traçar as linhas de nível da função
z = x^{2} + y^{2}
e, com isso, determinar o “formato” da superfície em \mathbb{R}^3. Vamos usar o conceito de linha de nível (contorno) e lembrar que, em termos de geometria de superfícies, a soma de quadrados gera um paraboloide.

Passo 2

Para construir a linha de nível de altura c, impomos
x^{2} + y^{2} = c.
Esse é o lugar geométrico dos pontos (x,y) no plano cuja soma dos quadrados vale exatamente c.

Passo 3

Analisando os casos de c:
  • Se c<0, não há solução real (nenhum ponto).
  • Se c=0, a equação vira
x^{2} + y^{2} = 0,
cujo único ponto é (0,0).
  • Se c>0, obtemos
x^{2} + y^{2} = c,
que descreve um círculo centrado na origem de raio \sqrt{c}. À medida que c cresce, as linhas de nível são círculos concêntricos de raio cada vez maior.

Passo 4

Para classificar a superfície \;z = x^{2}+y^{2}: basta notar que é um polinômio de segundo grau em x e y com coeficientes positivos. Calculando a forma quadrática associada (ou o Hessiano), temos valores próprios todos positivos, o que implica que a superfície é um paraboloide elíptico. Em palavras de amigo: é aquele “bowl” que abre para cima, com vértice no ponto (0,0,0).

Resposta

As linhas de nível são dadas por
x^{2} + y^{2} = c,\quad c\ge0,
isto é, círculos de raio \sqrt{c} centrados na origem (nenhuma linha para c<0). A superfície é um paraboloide elíptico que se abre para cima, com vértice em (0,0,0).

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