Construir o polinômio interpolador quadrático dos pontos A=(1,4), B=(-1,10), C=(2,7).

Passo 1

O enunciado pede o polinômio interpolador quadrático que passa pelos pontos A=(1,4), B=(-1,10) e C=(2,7). O conteúdo é interpolação polinomial de grau 2; vamos assumir o polinômio genérico P(x)=ax^2+bx+c e determinar a, b e c resolvendo um sistema linear.

Passo 2

Para cada ponto temos:
\begin{cases} P(1)=a+b+c=4,\\\ P(-1)=a - b + c=10,\\\ P(2)=4a +2b + c=7. \end{cases}

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos
(a+b+c)-(a - b + c)=4-10 \quad\Longrightarrow\quad 2b=-6 \quad\Longrightarrow\quad b=-3.
Substituindo b=-3 em a+b+c=4
a -3 + c=4 \quad\Longrightarrow\quad a+c=7 \quad\Longrightarrow\quad c=7-a.
Em seguida, na terceira equação:
4a+2(-3)+(7-a)=7 \quad\Longrightarrow\quad 4a-6+7-a=7 \quad\Longrightarrow\quad 3a+1=7 \quad\Longrightarrow\quad a=2,
logo c=7-2=5.

Passo 4

Assim os coeficientes são a=2, b=-3 e c=5, e o polinômio interpolador é
P(x)=2x^2-3x+5.

Resposta

P(x)=2x^2-3x+5.

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