Construir o triângulo A B C conhecendo a mediana m_{a} e as alturas h_{b} e h_{c}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pedido: construir o triângulo A B C (isto é, determinar geometricamente a posição dos vértices) conhecendo apenas três comprimentos: a mediana m_{a} (mediana do vértice A até o ponto médio de B C) e as alturas h_{b} e h_{c} (alturas a partir dos vértices B e C, isto é, as distâncias dos vértices B e C às retas A C e A B, respectivamente).
  • Dados relevantes fornecidos:
    • m_{a}>0 (comprimento da mediana relativa ao vértice A);
    • h_{b}>0 (comprimento da altura que sai de B até A C);
    • h_{c}>0 (comprimento da altura que sai de C até A B).
Observação importante (apenas identificação do pedido): o triângulo procurado é determinado salvo condições de existência (veremos isso depois). A resolução começará no Passo 2.

Passo 2

Escolha de notação e ideia básica de modelagem (coordenadas).
  • Vamos escolher sistema de coordenadas para transformar o problema geométrico numa equação que possamos resolver e, depois, transformar essa solução num procedimento de construção com régua e compasso.
  • Notação de comprimentos: a=|B C|, b=|C A|, c=|A B|.
  • Dados em notação: dado m_{a} (mediana relativa a A), dado h_{b} e h_{c} (alturas a partir de B e C).
  • Colocação conveniente no plano: tomamos o ponto médio M de B C como origem (0,0) e colocamos B e C sobre o eixo x simetricamente em relação a M. Assim:
    • M=(0,0),
    • B=\bigl(-\tfrac{a}{2},0\bigr),
    • C=\bigl(\tfrac{a}{2},0\bigr).
  • A mediana A M tem comprimento m_{a}, logo o vértice A está num círculo de raio m_{a} centrado em M. Escrevemos A=(u,v) com u^{2}+v^{2}=m_{a}^{2}.
  • Objetivo reduzido: encontrar a>0 e as coordenadas u,v (com u^{2}+v^{2}=m_{a}^{2}) tais que as distâncias de B e C às retas A C e A B sejam, respectivamente, h_{b} e h_{c}. A partir de a,u,v construímos os pontos B,C,A.

Passo 3

Fórmula para a distância de um ponto a uma reta e aplicação ao problema.
  • Lembrete de fórmula (distância ponto - reta): se uma reta passa por (x_1,y_1) e (x_2,y_2) e P=(x_0,y_0) é um ponto, então a distância de P à reta é
    \mathrm{dist}(P,\text{reta}( (x_1,y_1),(x_2,y_2) )) =\frac{\bigl|(x_2-x_1)(y_1-y_0)-(x_1-x_0)(y_2-y_1)\bigr|} {\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}.
    Expliquei a fórmula: numerador é área duas vezes do triângulo formado por pontos; denominador é comprimento do segmento que define a reta — essa fórmula é muito prática para distâncias em coordenadas.
  • Aplicando ao nosso caso:
    • Distância de B=\bigl(-\tfrac{a}{2},0\bigr) à reta A C (reta que passa por A=(u,v) e C=(\tfrac{a}{2},0)):
      usando a fórmula chegamos (após simplificação algébrica) a h_{b}=\frac{a|v|}{\sqrt{\bigl(\tfrac{a}{2}-u\bigr)^{2}+v^{2}}}.
    • Distância de C=\bigl(\tfrac{a}{2},0\bigr) à reta A B (reta que passa por A=(u,v) e B=\bigl(-\tfrac{a}{2},0\bigr)) dá h_{c}=\frac{a|v|}{\sqrt{\bigl(\tfrac{a}{2}+u\bigr)^{2}+v^{2}}}.
  • Observação: o numerador em ambos ficou a|v| (isso é intuitivo: se v=0 então A está no eixo e as duas alturas seriam zero), os denominadores diferem nos termos \tfrac{a}{2}\pm u.

Passo 4

Usar as duas expressões para obter relação entre u, v, a, h_{b} e h_{c}.
  • Dividindo as duas fórmulas (ou escrevendo razão de quadrados) é prático para eliminar |v| e a do numerador: \left(\frac{h_{b}}{h_{c}}\right)^{2} =\frac{\bigl(\tfrac{a}{2}+u\bigr)^{2}+v^{2}}{\bigl(\tfrac{a}{2}-u\bigr)^{2}+v^{2}}.
  • Denotemos para simplicidade p:=h_{b}^{2},\qquad q:=h_{c}^{2},\qquad S:=m_{a}^{2}.(Assim p,q,S>0 e u^{2}+v^{2}=S.)
  • Defina o número K := \frac{p-q}{p+q}.Observação rápida: K é simplesmente (r^{2}-1)/(r^{2}+1) com r=h_{b}/h_{c}; escrevo com p,q porque evita frações dentro de frações.
  • Trabalhando a equação acima (facilidade algébrica): chega-se, após simplificações detalhadas (expandir, recolher termos e usar u^{2}+v^{2}=S), à expressão explícita de u em função de a (e dos dados p,q,S): u=\frac{K\bigl(\tfrac{a^{2}}{4}+S\bigr)}{a}.Vou explicar: o leitor pode verificar essa expressão substituindo v^{2}=S-u^{2} nas fórmulas do Passo 3 e isolando u — dá esse resultado. (Essa é uma etapa algébrica padrão: resolvemos a equação da razão para u.)

Passo 5

Obter uma equação para a (ou para X:=a^{2}) usando a expressão de u e a fórmula da altura h_{b}.
  • Usando a expressão de u no quadrado da fórmula de h_{b} (mais conveniente trabalhar com quadrados para evitar raízes), obtemos, depois de manipulações algébricas, uma equação polinomial em X:=a^{2}.
  • Escrevendo-a na forma padrão \alpha X^{2}+\beta X+\gamma=0, os coeficientes são (em função apenas dos dados p,q,S e de K): \alpha = K^{2},
\beta = -16S + 8K^{2}S + 4p(1-K),
\gamma = 16S\bigl(K^{2}S + p(1-K)\bigr).
  • Explicação do que fiz: quando substitui u=\dfrac{K(\tfrac{a^{2}}{4}+S)}{a} em h_{b}^{2}=\dfrac{a^{2}(S-u^{2})}{\tfrac{a^{2}}{4}-a u + S} (derivada do Passo 3), e multiplico ambos os lados por denominadores para eliminar raízes, organizo todos os termos e obtenho um polinômio em X=a^{2}. Os coeficientes acima aparecem ao simplificar essa identidade. Não pulei etapas conceituais: é apenas substituição, expansão e recolhimento de termos.

Passo 6

Resolver a equação quadrática para X=a^{2}.
  • A equação é \alpha X^{2}+\beta X+\gamma=0,com \alpha,\beta,\gamma do Passo 5.
  • Pelo método padrão (fórmula de Bhaskara) toma-se a raiz discriminante \Delta := \beta^{2}-4\alpha\gamma.Se \Delta<0 não existe triângulo com esses dados (condição de existência). Se \Delta\ge0, escolhe-se a raiz positiva X=a^{2}=\frac{-\beta+\sqrt{\Delta}}{2\alpha},porque \alpha=K^{2}\ge0 (e \alpha=0 só ocorreria se K=0, ver caso degenerado comentado adiante) e precisamos de a^{2}>0.
  • Observação prática: em termos dos dados p,q,S pode-se calcular explicitamente \alpha,\beta,\gamma, depois \Delta e então a=\sqrt{X}.

Passo 7

Encontrar u e v (coordenadas de A) a partir de a.
  • Tendo a=\sqrt{X} (escolhida a raiz positiva), recalcule u=\frac{K\bigl(\tfrac{a^{2}}{4}+S\bigr)}{a}.
  • Em seguida v=\pm\sqrt{S-u^{2}}.Deve escolher-se o sinal de v que corresponda à orientação desejada (triângulo acima ou abaixo do eixo B C); geometricamente ambos mesmos triângulos espelhados. Tomando v>0 assume-se A acima do eixo B C.
  • Verificação: com esses a,u,v as fórmulas das distâncias (Passo 3) retornam exatamente h_{b} e h_{c} (é bom verificar numericamente ao construir).

Passo 8

Interpretar e transformar as fórmulas numa construção geométrica com régua e compasso (operações permitidas).
  • Construtivamente, os passos algébricos anteriores equivalem a operações com comprimentos: soma, produto por constantes, quadrado, extração de raiz quadrada. Todas essas operações são realizáveis com régua e compasso (construções clássicas).
  • Procedimento prático de construção (passos concretos):
    1. A partir dos dados m_{a},h_{b},h_{c} construa os comprimentos p=h_{b}^{2}, q=h_{c}^{2} e S=m_{a}^{2}. (Geometricamente: construir o quadrado de um segmento é clássico; obtém-se p,q,S como segmentos.)
    2. Construa K=\dfrac{p-q}{p+q} (operações de soma, diferença, razão são construíveis).
    3. Construa os coeficientes \alpha=K^{2}, \beta, \gamma conforme as fórmulas do Passo 5 (operacionalmente soma, produto e construção de quadrados).
    4. Calcule a discriminante \Delta=\beta^{2}-4\alpha\gamma. Se \Delta<0 a construção é impossível (não existe triângulo). Se \Delta\ge0, construa \sqrt{\Delta}.
    5. Construa X=a^{2}=\dfrac{-\beta+\sqrt{\Delta}}{2\alpha} e então a=\sqrt{X}.
    6. Construa u=\dfrac{K\bigl(\tfrac{a^{2}}{4}+S\bigr)}{a} e depois v=\sqrt{S-u^{2}}.
    7. Agora a construção geométrica final: sobre uma reta desenhe o ponto M (será o ponto médio); a partir de M marque à esquerda e à direita os pontos B e C a distâncias \tfrac{a}{2} e -\tfrac{a}{2} (ou seja, construa segmento BC de comprimento a com M como ponto médio).
    8. A partir de M marque sobre o eixo horizontal a distância u para obter a projeção horizontal de A. Em M trace a perpendicular ao eixo BC e sobre ela marque a distância v (no sentido escolhido, por exemplo para cima) para localizar A. Assim obtém-se A=(u,v), B=\bigl(-\tfrac{a}{2},0\bigr), C=\bigl(\tfrac{a}{2},0\bigr).
    9. Verifique: as alturas de B e C até A C e A B serão h_{b} e h_{c} por construção, e A M=m_{a} por construção (verificação final numérica).
  • Comentário prático: todas as etapas acima são compostas por construções elementares: soma/subtração de segmentos, construção de razões, construção de quadrado e extração de raiz quadrada — todas clássicas com régua e compasso.

Passo 9

Casos degenerados e condição de existência.
  • Se \Delta<0 (na equação do Passo 6) então não existe triângulo com os dados m_{a},h_{b},h_{c}.
  • O caso K=0 corresponde a p=q, isto é, h_{b}=h_{c}. Nesse caso a fórmula de \alpha=K^{2} faz \alpha=0 e a equação não é quadrática mas linear em X; trata-se do caso simétrico (triângulo com A alinhado perpendicularmente a B C — isto é, u=0), que se trata separadamente: para h_{b}=h_{c} tem-se u=0 e a equação do Passo 6 reduz-se e fornece a diretamente (pode-se recuperar a pela relação explícita simples que aparece ao substituir u=0 em Passo 3). Em termos práticos a construção também se adapta bem.
  • Em termos geométricos: os dados não determinam um triângulo quando são incompatíveis (por exemplo, tentar querer alturas maiores do que geométricamente possíveis dado o comprimento da mediana).

Passo 10

Resumo operacional curto (receita de prova/na prova).
  • Resumo rápido que eu faria na hora da prova para construir:
    1. Calcule p=h_{b}^{2},\\ q=h_{c}^{2},\\ S=m_{a}^{2} e K=\dfrac{p-q}{p+q}.
    2. Forme \alpha=K^{2}, \beta=-16S + 8K^{2}S + 4p(1-K), \gamma=16S\bigl(K^{2}S + p(1-K)\bigr).
    3. Resolva \alpha X^{2}+\beta X+\gamma=0 para X=a^{2} e tome a raiz positiva a=\sqrt{X} (ou trate o caso K=0 separadamente).
    4. Calcule u=\dfrac{K(\tfrac{a^{2}}{4}+S)}{a} e v=\sqrt{S-u^{2}}.
    5. Desenhe B\bigl(-\tfrac{a}{2},0\bigr), C\bigl(\tfrac{a}{2},0\bigr) e A=(u,v).
  • Essas fórmulas mostram diretamente como obter os comprimentos que você desenha com régua e compasso na prova.

Resposta

Sejam p=h_{b}^{2}, q=h_{c}^{2}, S=m_{a}^{2} e
K=\frac{p-q}{p+q}.
Defina os coeficientes
\alpha=K^{2},\qquad \beta=-16S + 8K^{2}S + 4p(1-K),\qquad \gamma=16S\bigl(K^{2}S + p(1-K)\bigr).
Calcule o discriminante \Delta=\beta^{2}-4\alpha\gamma. Se \Delta<0 não existe triângulo com os dados; se \Delta\ge0 então
a^{2}=X=\frac{-\beta+\sqrt{\Delta}}{2\alpha},\qquad a=\sqrt{X}.
Em seguida
u=\frac{K\bigl(\tfrac{a^{2}}{4}+S\bigr)}{a},\qquad v=\sqrt{S-u^{2}}.
Finalmente tomar
B=\Bigl(-\tfrac{a}{2},0\Bigr),\qquad C=\Bigl(\tfrac{a}{2},0\Bigr),\qquad A=(u,v),
que é o triângulo procurado (ou o espelho v\mapsto -v, se preferir).

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