Construir o triângulo A B C conhecendo o lado a e as medianas m_{b} e m_{c}.
Passo 1
O enunciado pede para construir o triângulo A B C conhecendo-se:
o lado \,a (isto é, o segmento \overline{BC} de comprimento \,a),
a mediana m_{b} (a mediana que sai de B e vai ao ponto médio de \overline{AC}),
a mediana m_{c} (a mediana que sai de C e vai ao ponto médio de \overline{AB}).
Em outras palavras: são conhecidos os pontos B e C unidos por um segmento de comprimento \,a e os comprimentos \,m_{b} e \,m_{c}. Deve-se construir geometricamente (com régua e compasso) os vértices do triângulo A (os vértices B e C já ficam fixos numa posição escolhida) de modo que as medianas a partir de B e de C tenham os comprimentos dados.
Passo 2
Fato geométrico essencial (explicação didática): o ponto de encontro das três medianas é o centróide G. Ele divide cada mediana no sentido vértice → ponto médio na razão 2:1 (do vértice até o centróide é o dobro do trecho do centróide até o ponto médio). Ou seja, se m_b é o comprimento da mediana que parte de B, então
BG=\frac{2}{3}\,m_b,
e, analogamente,
CG=\frac{2}{3}\,m_c.
Por que isso vale? A definição de centróide (baricentro) e a propriedade das medianas mostram que o centróide divide cada mediana em partes com razão 2:1. Portanto, do vértice até G mede \tfrac{2}{3} da mediana inteira. Isso é o que vamos usar para localizar G.
Passo 3
Primeira ações de construção (passos concretos):
Escolha um segmento \overline{BC} com comprimento \,a. Marque os pontos B e C.
Construa o ponto médio M_a do segmento \overline{BC}. (Isso é feito traçando as mediatrizes ou com compassos iguais a partir de B e C e encontrando sua interseção; o segmento que une as interseções corta \overline{BC} em M_a.)
Explicação prática: M_a será o ponto médio de \overline{BC} e, no triângulo final, será o ponto médio do lado oposto a A (isto é, será o ponto médio de \overline{BC}, que conhecemos).
Passo 4
Localizar o centróide G por intersecção de círculos:
Com compasso, trace a circunferência de centro B e raio \left(\tfrac{2}{3}m_b\right). (Isto porque, se G for o centróide do triângulo que procuramos, então BG=\tfrac{2}{3}m_b.)
Com compasso, trace a circunferência de centro C e raio \left(\tfrac{2}{3}m_c\right).
Os pontos de interseção das duas circunferências (zero, um ou dois pontos) são as possíveis posições do centróide G.
Comentário didático: geometricamente pode haver duas interseções (duas soluções de triângulo espelhadas em relação à reta BC), uma interseção tangente (uma solução degenerada) ou nenhuma interseção (nenhuma solução compatível com os dados). Se não houver interseção, os dados são incompatíveis e não existe triângulo com esses comprimentos.
Passo 5
Escolha de uma solução para G e procedimento seguinte:
Escolha uma das interseções G obtidas (cada interseção dá uma solução triangular possível). Agora sabemos G e já tínhamos M_a.
Observe a reta \overline{GM_a}. No triângulo que queremos, G está sobre a mediana que une A ao ponto médio M_a de \overline{BC}, e está entre A e M_a com a razão AG:GM_a=2:1. Assim, o ponto A pertence à reta que passa por G e M_a, no lado oposto a M_a (i.e. A, G, M_a estão colineares nessa ordem, com G entre A e M_a).
Explicação didática: lembrando a relação da mediana, AG=\tfrac{2}{3}m_a e GM_a=\tfrac{1}{3}m_a, então GA = 2\cdot GM_a. Não precisamos conhecer m_a para construir A; basta usar a razão entre GA e GM_a.
Passo 6
Construir concretamente o vértice A:
Meça GM_a (com o compasso). No prolongamento da reta \overline{GM_a} para o lado oposto de M_a (ou seja, em direção oposta a M_a a partir de G), marque no compasso duas vezes a medida GM_a a partir de G. Ou seja, com centro em G marque um ponto P tal que GP = GM_a, e então marque A no mesmo sentido com GA = 2\,GM_a. Assim A fica no prolongamento de G afastando-se de M_a e satisfaz GA = 2\cdot GM_a.
Alternativamente, faça a construção pela divisão de segmento: construa em \overline{GM_a} o ponto A tal que G divide \overline{AM_a} na razão 2:1 (procedimento padrão de divisão de segmento em razão dada).
Observação prática: isto é uma construção elementar com régua e compasso (copiar segmento e marcar duas vezes, ou usar semelhança de triângulos para dividir em razão).
Passo 7
Verificação e justificação por que isto resolve o problema:
Pelo modo como escolhemos G, temos BG=\tfrac{2}{3}m_b e CG=\tfrac{2}{3}m_c. Se A foi construído de modo que G divide AM_a na razão 2:1, então G é precisamente o centróide do triângulo ABC. Para esse triângulo vale a propriedade inversa: a mediana a partir de B tem comprimento m_b porque o centróide fica a \tfrac{2}{3} desse comprimento; isto é, m_b=\tfrac{3}{2}BG. Mas como fixamos BG=\tfrac{2}{3}m_b, obtemos a igualdade desejada. Mesmo raciocínio para m_c. Portanto o triângulo construído satisfaz as condições do enunciado.
Sobre a multiplicidade de soluções: cada interseção de circunferências dá um possível G e, portanto, um triângulo ABC. Geralmente haverá duas soluções simétricas em relação à reta BC.
Passo 8
Casos especiais e existência:
Se as circunferências de centros B e C e raios \tfrac{2}{3}m_b e \tfrac{2}{3}m_c não se intersectarem, então não existe triângulo com os dados fornecidos (os comprimentos são incompatíveis).
Se tangenciarem em um ponto, há exatamente uma solução (triângulo único, degenerescência possível no limite).
Se houver duas interseções, há duas soluções (triângulos simétricos em relação à reta BC).
Passo 9
Resumo prático do procedimento (passos de régua e compasso que você executa na prova, rapidinho):
Traçar \overline{BC} com |BC|=a.
Construir M_a, ponto médio de \overline{BC}.
Desenhar circunferência de centro B e raio \tfrac{2}{3}m_b.
Desenhar circunferência de centro C e raio \tfrac{2}{3}m_c.
Escolher interseção G das duas circunferências.
Traçar reta GM_a e, no prolongamento de G em sentido oposto a M_a, marcar A com GA=2\cdot GM_a.
Ligar A a B e C: o triângulo ABC resultante satisfaz os dados.
Resposta
Construir \overline{BC} com |BC|=a. Fazer M_a ponto médio de \overline{BC}. Traçar as circunferências de centros B e C e raios \tfrac{2}{3}m_b e \tfrac{2}{3}m_c; tomar uma interseção G (centróide). Traçar a reta GM_a e marcar em seu prolongamento o ponto A tal que GA=2\cdot GM_a. Os triângulos ABC obtidos assim (até duas soluções simétricas) são as soluções procuradas.