Construir o triângulo A B C conhecendo o lado a e as medianas m_{b} e m_{c}.

Passo 1

O enunciado pede para construir o triângulo A B C conhecendo-se:
  • o lado \,a (isto é, o segmento \overline{BC} de comprimento \,a),
  • a mediana m_{b} (a mediana que sai de B e vai ao ponto médio de \overline{AC}),
  • a mediana m_{c} (a mediana que sai de C e vai ao ponto médio de \overline{AB}).
Em outras palavras: são conhecidos os pontos B e C unidos por um segmento de comprimento \,a e os comprimentos \,m_{b} e \,m_{c}. Deve-se construir geometricamente (com régua e compasso) os vértices do triângulo A (os vértices B e C já ficam fixos numa posição escolhida) de modo que as medianas a partir de B e de C tenham os comprimentos dados.

Passo 2

Fato geométrico essencial (explicação didática): o ponto de encontro das três medianas é o centróide G. Ele divide cada mediana no sentido vértice → ponto médio na razão 2:1 (do vértice até o centróide é o dobro do trecho do centróide até o ponto médio). Ou seja, se m_b é o comprimento da mediana que parte de B, então
BG=\frac{2}{3}\,m_b,
e, analogamente,
CG=\frac{2}{3}\,m_c.
Por que isso vale? A definição de centróide (baricentro) e a propriedade das medianas mostram que o centróide divide cada mediana em partes com razão 2:1. Portanto, do vértice até G mede \tfrac{2}{3} da mediana inteira. Isso é o que vamos usar para localizar G.

Passo 3

Primeira ações de construção (passos concretos):
  • Escolha um segmento \overline{BC} com comprimento \,a. Marque os pontos B e C.
  • Construa o ponto médio M_a do segmento \overline{BC}. (Isso é feito traçando as mediatrizes ou com compassos iguais a partir de B e C e encontrando sua interseção; o segmento que une as interseções corta \overline{BC} em M_a.)
Explicação prática: M_a será o ponto médio de \overline{BC} e, no triângulo final, será o ponto médio do lado oposto a A (isto é, será o ponto médio de \overline{BC}, que conhecemos).

Passo 4

Localizar o centróide G por intersecção de círculos:
  • Com compasso, trace a circunferência de centro B e raio \left(\tfrac{2}{3}m_b\right). (Isto porque, se G for o centróide do triângulo que procuramos, então BG=\tfrac{2}{3}m_b.)
  • Com compasso, trace a circunferência de centro C e raio \left(\tfrac{2}{3}m_c\right).
  • Os pontos de interseção das duas circunferências (zero, um ou dois pontos) são as possíveis posições do centróide G.
Comentário didático: geometricamente pode haver duas interseções (duas soluções de triângulo espelhadas em relação à reta BC), uma interseção tangente (uma solução degenerada) ou nenhuma interseção (nenhuma solução compatível com os dados). Se não houver interseção, os dados são incompatíveis e não existe triângulo com esses comprimentos.

Passo 5

Escolha de uma solução para G e procedimento seguinte:
  • Escolha uma das interseções G obtidas (cada interseção dá uma solução triangular possível). Agora sabemos G e já tínhamos M_a.
  • Observe a reta \overline{GM_a}. No triângulo que queremos, G está sobre a mediana que une A ao ponto médio M_a de \overline{BC}, e está entre A e M_a com a razão AG:GM_a=2:1. Assim, o ponto A pertence à reta que passa por G e M_a, no lado oposto a M_a (i.e. A, G, M_a estão colineares nessa ordem, com G entre A e M_a).
Explicação didática: lembrando a relação da mediana, AG=\tfrac{2}{3}m_a e GM_a=\tfrac{1}{3}m_a, então GA = 2\cdot GM_a. Não precisamos conhecer m_a para construir A; basta usar a razão entre GA e GM_a.

Passo 6

Construir concretamente o vértice A:
  • Meça GM_a (com o compasso). No prolongamento da reta \overline{GM_a} para o lado oposto de M_a (ou seja, em direção oposta a M_a a partir de G), marque no compasso duas vezes a medida GM_a a partir de G. Ou seja, com centro em G marque um ponto P tal que GP = GM_a, e então marque A no mesmo sentido com GA = 2\,GM_a. Assim A fica no prolongamento de G afastando-se de M_a e satisfaz GA = 2\cdot GM_a.
  • Alternativamente, faça a construção pela divisão de segmento: construa em \overline{GM_a} o ponto A tal que G divide \overline{AM_a} na razão 2:1 (procedimento padrão de divisão de segmento em razão dada).
Observação prática: isto é uma construção elementar com régua e compasso (copiar segmento e marcar duas vezes, ou usar semelhança de triângulos para dividir em razão).

Passo 7

Verificação e justificação por que isto resolve o problema:
  • Pelo modo como escolhemos G, temos BG=\tfrac{2}{3}m_b e CG=\tfrac{2}{3}m_c. Se A foi construído de modo que G divide AM_a na razão 2:1, então G é precisamente o centróide do triângulo ABC. Para esse triângulo vale a propriedade inversa: a mediana a partir de B tem comprimento m_b porque o centróide fica a \tfrac{2}{3} desse comprimento; isto é, m_b=\tfrac{3}{2}BG. Mas como fixamos BG=\tfrac{2}{3}m_b, obtemos a igualdade desejada. Mesmo raciocínio para m_c. Portanto o triângulo construído satisfaz as condições do enunciado.
  • Sobre a multiplicidade de soluções: cada interseção de circunferências dá um possível G e, portanto, um triângulo ABC. Geralmente haverá duas soluções simétricas em relação à reta BC.

Passo 8

Casos especiais e existência:
  • Se as circunferências de centros B e C e raios \tfrac{2}{3}m_b e \tfrac{2}{3}m_c não se intersectarem, então não existe triângulo com os dados fornecidos (os comprimentos são incompatíveis).
  • Se tangenciarem em um ponto, há exatamente uma solução (triângulo único, degenerescência possível no limite).
  • Se houver duas interseções, há duas soluções (triângulos simétricos em relação à reta BC).

Passo 9

Resumo prático do procedimento (passos de régua e compasso que você executa na prova, rapidinho):
  1. Traçar \overline{BC} com |BC|=a.
  2. Construir M_a, ponto médio de \overline{BC}.
  3. Desenhar circunferência de centro B e raio \tfrac{2}{3}m_b.
  4. Desenhar circunferência de centro C e raio \tfrac{2}{3}m_c.
  5. Escolher interseção G das duas circunferências.
  6. Traçar reta GM_a e, no prolongamento de G em sentido oposto a M_a, marcar A com GA=2\cdot GM_a.
  7. Ligar A a B e C: o triângulo ABC resultante satisfaz os dados.

Resposta

Construir \overline{BC} com |BC|=a. Fazer M_a ponto médio de \overline{BC}. Traçar as circunferências de centros B e C e raios \tfrac{2}{3}m_b e \tfrac{2}{3}m_c; tomar uma interseção G (centróide). Traçar a reta GM_a e marcar em seu prolongamento o ponto A tal que GA=2\cdot GM_a. Os triângulos ABC obtidos assim (até duas soluções simétricas) são as soluções procuradas.

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